Uma variável aleatória pode assumir qualquer um de n valores possíveis x , ,   . . . ,   x n , com respectivas probabilidades p ( x i ) ,   i   =   1 ,   . . . ,   n . Vamos tentar determinar o valor de X fazendo uma série de questões, para as quais as respostas são do tipo "sim" ou "não'.' Por exemplo, podemos perguntar "X é igual a x 1 ?" ou "X é igual a x 1 , ,   x 2 ,   o u   x n ,?','e assim por diante. O que você pode dizer sobre o número médio de questões desse tipo que você precisará fazer para determinar o valor de X ?

Passo 1

Fala galeraaa, beleza? Vamos que vamos resolver mais uma juntos?!

Definimos a variável aleatória $X$ que marca o número de questões que devem ser feitas para obter o valor de determinada variável aleatória. Observe que a resposta para uma pergunta específica é 1 / 2 , ou seja:

P ( S i m ) = P ( N ã o ) = 1 2

o que implica que P X = k = 1 2 k p a r a   k = 1 ,   … ,   n . Assim, o número médio de questões é de:

                                                                E X = ∑ k = 1 n k ⋅ 1 2 k                                                                                                                                                                   ( 1 )

Para calcular isso, multiplique por 1 2 . Nós temos:

1 2 E X = ∑ k = 1 n k ⋅ 1 2 k + 1

Subtraindo isso da expressão em (1), temos que:

1 2 E X = ∑ k = 1 n 1 2 k - n ⋅ 1 2 n + 1

Use a fórmula que ∑ k = 1 n 1 2 k = 1 2 ⋅ 1 -   0.5 n + 1 1 - 0.5 para obter que a resposta final seja:

E ( X ) = n 2 n

Agora podemos ir pra mais uma 😊

Resposta

E ( X ) = n 2 n