A variável aleatória positiva X é chamada de log-normal com parâmetros μ e σ 2   se log(X) é uma variável aleatória normal com parâmetros μ e variância σ 2 .Use a função geratriz de momentos normal para determinar a média e a variância de uma variável aleatória log-normal

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos definir Y = log ⁡ X , desde que X é uma V.A normal do tipo log-normal, com isso, vamos ter algo desse tipo Y   ~   N ( μ , σ 2 ) . Observando a igualdade, para t ≥ 0 , nós temos que

E X t = E e Y t = E ( E t Y )

Isso será nossa FGM, então

E X t = M Y t = exp ⁡ μ t + σ 2 t 2 2

Então, nós temos que

E X = exp ⁡ μ + σ 2 2

E

E X 2 = exp ⁡ ( 2 μ + 2 σ 2 )

Passo 2

Isso implica para o cálculo da variância, que é igual a

V a r X = E X 2 - E X 2

Substituindo os termos, nós temos que

V a r X = exp ⁡ 2 μ + 2 σ 2 - exp ⁡ 2 μ + σ 2

Com isso, nós temos que

V a r X = e 2 μ + σ 2 ( e σ 2 - 1 )

Resposta

E X = exp ⁡ μ + σ 2 2

V a r X =   e 2 μ + σ 2 ( e σ 2 - 1 )