Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída ao longo do intervalo (-1,1), determine:

(a) P X > 1 2 ;

(b) a função densidade da variável aleatória | X | .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que temos a variável X   ~ U [ - 1,1 ] , nós temos uma variável uniforme nesse intervalo, com essa introdução vamos responder as questões

A – A questão nos pede para calcular a seguinte probabilidade

P X > 1 2 = P X > 1 2 + P X < - 1 2

Passando para integral, nós temos

P X > 1 2 = ∫ 1 2 1 1 2   d x + ∫ - 1 - 1 2 1 2   d x

Resolvendo as integrais, nós temos que

P X > 1 2 = 1 2 x 1 2 1 + 1 2 x - 1 - 1 2

Temos que

P X > 1 2 = 1 2 1 - 1 2 + 1 2 - 1 2 + 1 = 1 4 + 1 4 = 1 2

Passo 2

B – Para encontrar a função de densidade de | X | , vamos colocar uma variável Y para substituir esse módulo, a fim de facilitar os cálculos, com isso Y = | X | , então

F Y y = P Y ≤ y = P [ X ≤ y ]

Como Y é o módulo de X, podemos inferir que o intervalo será simétrico, e com isso, nós temos

F Y y = P [ - y ≤ X ≤ y ]

Substituindo essa probabilidade da direita pela integral, nós temos que

F Y y = ∫ - y y 1 2   d x = 1 2 2 y

Com isso, nós temos

F Y y = y ,     p a r a   0 ≤ y ≤ 1

A função de densidade é basicamente a derivada desta ultima função encontrada, que vamos encontrar no próximo passo.

Passo 3

A função de densidade de Y é dada por

f Y y = d d y F Y y = d d y y = 1 ,     p a r a     0 ≤ y ≤ 1

Portanto,

f Y y = 1 ,     p a r a   0 ≤ y ≤ 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Resposta

a )   P X > 1 2 = 1 2

b )   f Y y = 1 ,     p a r a   0 ≤ y ≤ 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o