Vendas semanais sucessivas, em unidades de milhares de reais, possuem uma distribuição normal bivariada com média 40, desvio padrão 6 e correlação 0,6.

(a) Determine a probabilidade de que o total de vendas das próximas duas semanas seja superior a 90.

(b) Se a correlação fosse de 0,2 em vez de 0,6, isso aumentara ou diminuiria a resposta da letra (a)?

(c) Repita a letra (a) para uma correlação de 0,2.

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin??

Vamos para mais um problema de Probabilidade.

Vamos definir as variáveis aleatórias X e Y que representam as vendas em duas semanas sucessivas, respectivamente. Temos que:

E X + Y = E X + E Y = 40 + 40 = 80

e

V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2 C o v ( X , Y )

Como ambas variáveis possuem desvio padrão igual a 6, temos que Var(X) = Var(Y) = 6² = 36, sabendo que a correlação entre elas as variáveis é de 0,6 temos que:

C o v X , Y = V a r X ⋅ V a r Y ⋅ ρ x , y = 36 ⋅ 36 ⋅ 0,6 = 21,6

Assim, temos que:

V a r X + Y = 36 + 36 + 2 . 21,6 = 115,2

Então X + Y é variável aleatória de distribuição normal dada por: X + Y ~ N ( 80   ,   115,2 )

Passo 2

(a) Nós queremos encontrar P( X + Y > 90), que é dada por:

P X + Y > 90 = P X + Y - 80 115,2 > 90 - 80 115,2

P X + Y > 90 = 1 -   P X + Y - 80 115,2 ≤ 90 - 80 115,2

Para determinar tal probabilidade usamos a tabela de distribuição normal onde queremos o valor de P ( Z ≤ 0,9317 )

P X + Y > 90 = 1 -   P Z ≤ 0,9317 = 0,1757

Passo 3

(b) A probabilidade diminuiria. Veja que E(X+Y) = 80

(c) Vamos recalcular a variância agora com o novo valor para a correlação:

C o v X , Y = V a r X ⋅ V a r Y ⋅ ρ x , y = 36 ⋅ 36 ⋅ 0 , 2 = 7,2

Assim, temos que:

V a r X + Y = 36 + 36 + 2 . 7,2 = 86,4

Consequentemente,

P X + Y > 90 = 1 -   P X + Y - 80 86,4 ≤ 90 - 80 86,4

Para determinar tal probabilidade usamos a tabela de distribuição normal onde queremos o valor de P ( Z ≤ 1,0758 )

P X + Y > 90 = 1 -   P Z ≤ 1,0758 = 0,1 41

O que demonstra matematicamente que a probabilidade diminui.

Resposta

(a) P X + Y > 90 = 0,1757

(b) A probabilidade diminui

(c) P X + Y > 90 = 0,141