Vendas semanais sucessivas, em unidades de milhares de reais, possuem uma distribuição normal bivariada com média 40, desvio padrão 6 e correlação 0,6.
(a) Determine a probabilidade de que o total de vendas das próximas duas semanas seja superior a 90.
(b) Se a correlação fosse de 0,2 em vez de 0,6, isso aumentara ou diminuiria a resposta da letra (a)?
(c) Repita a letra (a) para uma correlação de 0,2.
Passo 1
Salve galera estudiosa, tudo certin??
Vamos para mais um problema de Probabilidade.
Vamos definir as variáveis aleatórias X e Y que representam as vendas em duas semanas sucessivas, respectivamente. Temos que:
e
Como ambas variáveis possuem desvio padrão igual a 6, temos que Var(X) = Var(Y) = 6² = 36, sabendo que a correlação entre elas as variáveis é de 0,6 temos que:
Assim, temos que:
Então X + Y é variável aleatória de distribuição normal dada por:
Passo 2
(a) Nós queremos encontrar P( X + Y > 90), que é dada por:
Para determinar tal probabilidade usamos a tabela de distribuição normal onde queremos o valor de
Passo 3
(b) A probabilidade diminuiria. Veja que E(X+Y) = 80
(c) Vamos recalcular a variância agora com o novo valor para a correlação:
Assim, temos que:
Consequentemente,
Para determinar tal probabilidade usamos a tabela de distribuição normal onde queremos o valor de
O que demonstra matematicamente que a probabilidade diminui.
Resposta
(a)
(b) A probabilidade diminui
(c)