Um vendedor de peças de automóveis descobre que 1 de cada 200 peças vendidas é defeituosa. Use a distribuição geométrica para calcular a probabilidade de que (a) a primeira peça defeituosa seja a quinta peça vendida, (b) a primeira peça defeituosa seja a primeira, a segunda ou a terceira peça vendida e (c) nenhuma das vinte primeiras peças vendidas seja defeituosa.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que

p = p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o = 1 200 = 0,005

O primeiro sucesso entre os ensaios independentes segue uma distribuição geométrica.

Definição de probabilidade geométrica:

P X = k = q k - 1 p = 1 - p k - 1 p

O número de sucessos entre um número fixo de tentativas independentes segue uma distribuição binomial. Essa definição é dada por

P X = k = C k ∙ p k ∙ 1 - p n - k = n ! k ! n - k ! ∙ p k ∙ 1 - p n - k

A - Avaliando a definição de probabilidade geométrica em x = 5 :

P X = 5 = 1 - 0,005 5 - 1 ( 0,005 )

Com isso, nós temos que

P X = 5 = 0,995 4 0,005 = 0,0049 = 0,49   %

Passo 2

B - Avalie a definição de probabilidade geométrica em x = 1,2 , 3

P X = 1 = 1 - 0,005 1 - 1 ( 0,005 )

Com isso, nós temos que

P X = 1 = 0,995 0 0,005 = 0,005

Para X = 2 , nós obtemos o seguinte resultado

P X = 2 = 1 - 0,005 2 - 1 ( 0,005 )

Logo,

P X = 2 = 0,995 1 0,005 = 0,004975

E com X = 3

P X = 3 = 1 - 0,005 3 - 1 0,005

Desenvolvendo os termos, nós temos que

P X = 3 = 0,995 2 0,005 = 0,004950

Como não é possível que os primeiros sucessos ocorram em duas tentativas diferentes, os eventos são mutuamente exclusivos. Usando a regra da adição para eventos disjuntos ou mutuamente exclusivos, nós temos a seguinte configuração

P A ∪ B = P A + P ( B )

Com isso, nós temos que

P X ≤ 3 = P X = 1 + P X = 2 + P X = 3

Substituindo os valores,

P X ≤ 3 = 0,005 + 0,004975 + 0,004950 = 0,014925

Trocando para a porcentagem

P X ≤ 3 = 1,4925   %

Passo 3

C – Desenvolvendo a definição de probabilidade binomial em x = 0 , nós temos que

P X = 0 = C 0 ∙ 0,005 0 ∙ 1 - 0,005 20 - 0

Com isso, nós temos que

P X = 0 = 1 ∙ 0,005 0 ∙ 0,995 20 ≈ 0,9046

Transformando em porcentagem, nós obtemos que

P X = 0 = 90,46   %

Resposta

a )   0,49   %

b )   1,4925   %

c )   90,46   %