Verifique que a função densidade gama tem integral igual a 1.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Supondo que a variável X   ~   G a m m a ( α , λ ) . A função de densidade é dada por

f x = λ α Γ ( α ) x α - 1 e - λ x

Essa função tem valores para x ≥ 0 , caso contrário é igual a zero. O que basicamente queremos provar é que

∫ R f x   d x = 1

Nós temos que

∫ R f x   d x =   ∫ 0 ∞ λ α Γ α x α - 1 e - λ x   d x

Tirando o que é constante da integral, nós temos que

∫ R f x   d x = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ x α - 1 e - λ x   d x

O que nós vamos é a integral do lado direito ( ∫ 0 ∞ x α - 1 e - λ x   d x ) .

Passo 2

Para resolver essa integral, temos que fazer pelo método da substituição, com isso, temos que substituir s por λ x , isso implica em x = s λ e d s = λ   d x . Nós temos que

∫ 0 ∞ x α - 1 e - λ x   d x =   ∫ 0 ∞ s λ α - 1 e - s λ   d s  

Com isso, nós temos que

∫ 0 ∞ x α - 1 e - λ x   d x = 1 λ α ∫ 0 ∞ s α - 1 e - s   d s = Γ α λ α

Passo 3

Voltando para a primeira relação entre as integrais que fizemos, nós temos que

λ α Γ α ∫ 0 ∞ x α - 1 e - λ x   d x = λ α Γ α ∙ Γ α λ α = 1

Portanto, está provado o que nos foi pedido, é isso 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)