Vinte indivíduos consistindo em 10 casais devem se sentar em 5 mesas diferentes, com 4 pessoas em cada mesa.

  1. Se as pessoas se sentam ‘’aleatoriamente’’, qual é o número esperado de casais em uma mesma mesa?
  2. Se 2 homens e 2 mulheres são escolhidos aleatoriamente para se sentarem em cada mesa, qual é o número esperado de casais sentados na mesma mesa?

Passo 1

Primeiro vamos definir que X são o número de casais sentados na mesma mesa, e também vamos definir as variáveis I j da seguinte maneira

I j = 1 ,   c a s o   E j   a c o n t e ç a   0 ,   c a s o   E j   n ã o   a c o n t e ç a

Sendo que E j é o evento de casais na mesma mesa, onde j = 1,2,3,...,10.

Então temos que

X = ∑ j = 1 10 I j

Logo o número de casais na mesma mesa esperado é E(x)

E X = E ∑ j = 1 10 I j =   ∑ j = 1 10 E ( I j ) =   ∑ j = 1 10 P ( E j )

Passo 2

Agora vamos calcular essa probabilidade, mas antes algumas denotações importantes

Vamos considerar

M j i = m u l h e r   d o   c a s a l   j °   n a   m e s a   i ° H j i = h o m e m   d o   c a s a l   j °   n a   m e s a   i °

Como o exercício diz, são 5 mesas com capacidade de 4 lugares cada e cada pessoa vai se sentar aleatoriamente.

P E j =   P j °   c a s a l   s e n t a r   n a   m e s a   1 +   … + P j °   c a s a l   s e n t a r   n a   m e s a   5

= P M j 1 P H j 1 M j 1 + P M j 2 P H j 2 M j 2 + P M j 3 P H j 3 M j 3 + P M j 4 P H j 4 M j 4 + P M j 5 P H j 5 M j 5

=   4 20 3 19 + 4 20 3 19 + 4 20 3 19 + 4 20 3 19 + 4 20 3 19

=   3 19

E como descobrimos acima

E X = ∑ j = 1 10 P E j

E X = 10 3 19 =   30 19  

Passo 3

Agora respondendo a letra b

Essa parte fica muito fácil, pois a parte mais difícil já foi feita no exercício acima. Agora o exercício pede para que usemos 2 homens e 2 mulheres para se sentarem aleatoriamente, antes a gente tinha 4 vagas em 5 mesas, dando um total 20 lugares. Como vão se sentar de 2 em 2, a gente vai ter 10 lugares.

Como a gente sabe que vai ter duas mulheres sentadas no lugar e logo em seguida vão vir dois homens, a chance de que um deles seja marido delas é de 2 10 , logo o valor esperado vai ser

E X = 10 2 10

= 2

Molezinha

Resposta

  1. 30 19
  2. 2