Você trabalha para uma companhia farmacêutica como analista de processos estatísticos. Sua função é analisar processos e certificar que eles estão sob controle estatístico. Em um dos processos, uma máquina deve adicionar 9,8 miligramas de um composto a uma mistura em um frasco. (Suponha que esse processo possa ser aproximado por uma distribuição normal.) A variação aceitável de quantidades do componente adicionado é de 9,65 miligramas a 9,95 miligramas, inclusive.

Devido a um erro com a válvula de liberação, a configuração da máquina “desvia” dos 9,8 miligramas. Para verificar se a máquina está acrescentando a quantidade correta do composto nos frascos, você seleciona de forma aleatória três amostras de cinco frascos e encontra a quantidade média do composto adicionado em cada uma. Um colega de trabalho pergunta por que você retira 3 amostras de tamanho 5 e calcula a média em vez de escolher aleatoriamente e medir as quantidades em 15 frascos individualmente para verificar a configuração da máquina.

(Nota: ambas as amostras são selecionadas sem reposição.)

Amostragens de grupos de 5.

Você seleciona cinco frascos e encontra a quantidade média do componente adicionado. Suponha que a máquina tenha se alterado e esteja enchendo os frascos com uma quantidade média de 9,96 miligramas e um desvio padrão de 0,05 miligrama.

  1. Qual é a probabilidade de que você selecione uma amostra de cinco frascos cuja média não esteja fora da variação aceitável? (Veja a Figura 5.54.)
  2. Você seleciona aleatoriamente três amostras de cinco frascos. Qual é a probabilidade de que pelo menos uma amostra de cinco frascos tenha uma média que não esteja fora da variação aceitável?
  3. O que é mais sensível à mudança: uma medida individual ou a média?

Passo 1

Oi galerinha, vamos resolver esse exercício juntos!

n = 5 ;

μ = 9,96 ;

σ = 0,05 .

Como a distribuição é normal, então podemos usar o Teorema do limite central e iremos encontrar o escore - z , pela seguinte equação:

z = x - - μ σ n

O escore - z correspondente a 9,65 miligramas:

z = 9,65 - 9,96 0,05 5 = - 13,9

E o escore - z correspondente a 9,95 miligramas:

z = 9,95 - 9,96 0,05 5 = - 0,45

Pela Tabela da distribuição normal, não temos valor para z = - 13,9 , então iremos considerar como zero. E para z = - 0,45 :

P z < - 0,45 = 0,3264

Então, a probabilidade de que seja selecionado uma amostra de cinco frascos cuja média não esteja fora da variação aceitável de 9,65 e 9,95 miligramas é:

P 9,65 < x - < 9,95 = P ( - 13,9 < z < - 0,45 )

P 9,65 < x - < 9,95 = P z < - 0,45 - P ( z < - 13,9 )

P 9,65 < x - < 9,95 = 0,3264 - 0

P 9,65 < x - < 9,95 = 0,3264

A probabilidade é 0,3264 .

Passo 2

Para o item (b) utilizaremos a equação da distribuição geométrica:

P x = p ∙ q x - 1

Temos:

p = 0,3264 (calculado no item anterior);

x = 3 .

Logo:

q = 1 - p = 1 - 0,3264

q = 0,6736

Primeiramente iremos calcular a probabilidade para 3, 2 e 1 amostras, e depois iremos soma-las.

  • Para P ( 1 ) :
  • P 1 = 0,3264 ∙ 0,6736 1 - 1

    P 1 = 0,3264

  • Para P ( 2 ) :
  • P 2 = 0,3264 ∙ 0,6736 2 - 1

    P 2 = 0,2199

  • Para P ( 3 ) :

P 3 = 0,3264 ∙ 0,6736 3 - 1

P 3 = 0,1481

Agora iremos somar as probabilidades:

P 1 ,   2 ,   3 = P 1 + P 2 + P ( 3 )

P 1 ,   2 ,   3 = 0,3264 + 0,2199 + 0,1481

P 1 ,   2 ,   3 = 0,6944

Então, a probabilidade de que pelo menos uma amostra de cinco frascos tenha uma média que não esteja fora da variação aceitável é 0,6944 .

Passo 3

(c) O mais sensível à mudança é a média.

Espero ter conseguido ajudar, até mais!

Resposta

  1. P 9,65 < x - < 9,95 = 0,3264
  2. P 1 ,   2 ,   3 = 0,6944
  3. O mais sensível à mudança é a média.