Você trabalha para uma companhia farmacêutica como analista de processos estatísticos. Sua função é analisar processos e certificar que eles estão sob controle estatístico. Em um dos processos, uma máquina deve adicionar 9,8 miligramas de um composto a uma mistura em um frasco. (Suponha que esse processo possa ser aproximado por uma distribuição normal.) A variação aceitável de quantidades do componente adicionado é de 9,65 miligramas a 9,95 miligramas, inclusive.

Devido a um erro com a válvula de liberação, a configuração da máquina “desvia” dos 9,8 miligramas. Para verificar se a máquina está acrescentando a quantidade correta do composto nos frascos, você seleciona de forma aleatória três amostras de cinco frascos e encontra a quantidade média do composto adicionado em cada uma. Um colega de trabalho pergunta por que você retira 3 amostras de tamanho 5 e calcula a média em vez de escolher aleatoriamente e medir as quantidades em 15 frascos individualmente para verificar a configuração da máquina.

(Nota: ambas as amostras são selecionadas sem reposição.)

Amostragem individual.

Você seleciona um frasco e determina quanto do componente foi adicionado. Suponha que a máquina sofra alteração e a distribuição da quantidade do componente adicionado tem agora uma média de 9,96 miligramas e um desvio padrão de 0,05 miligrama.

  1. Qual a probabilidade de que você selecione um frasco que NÃO esteja fora da variação aceitável? (Em outras palavras, você não detecta que a máquina sofreu alteração, veja a Figura 5.53.)
  2. Você seleciona aleatoriamente 15 frascos. Qual é a probabilidade de que você selecione pelo menos um frasco que NÃO esteja fora da variação aceitável?

Passo 1

Oi galerinha, vamos resolver esse exercício juntos!

μ = 9,96 ;

σ = 0,05 .

Porém, no item (a), não notamos essa variação, e queremos saber, que se pra essas condições acima, os frascos ainda estarão com as quantidades do componente entre 9,65 e 9,95 miligramas.

Como a distribuição é normal, então podemos usar o Teorema do limite central e iremos encontrar o escore - z , pela seguinte equação:

z = x - - μ σ n

O escore - z correspondente a 9,65 miligramas:

z = 9,65 - 9,96 0,05 1 = - 6,20

E o escore - z correspondente a 9,95 miligramas:

z = 9,95 - 9,96 0,05 1 = - 0,20

Pela Tabela da distribuição normal, não temos valor para z = - 6,20 , então iremos considerar como zero. E para z = - 0,20 :

P z < - 0,20 = 0,4207

Então, a probabilidade de que seja selecionado um frasco que não esteja fora da variação aceitável de 9,65 e 9,95 miligramas é:

P 9,65 < x - < 9,95 = P ( - 6,20 < z < - 0,20 )

P 9,65 < x - < 9,95 = P z < - 0,20 - P ( z < - 6,20 )

P 9,65 < x - < 9,95 = 0,4207 - 0

P 9,65 < x - < 9,95 = 0,4207

Considerando μ = 9,96 , cerca de 42% não estarão fora da variação aceitável.

Passo 2

No item (b), temos:

n = 15 ;

Pelo menos 1 frasco: P x > c - 0,5 = P ( x > 14,5 ) ;

x - = 9,96 ;

s = 0,05 .

Para este experimento binomial:

n p = 15 0,5793 = 8,7

n q = 15 0,4207 = 6,3

Como n p e n q são maiores que 5, podemos usar uma distribuição normal para aproximar a distribuição de x :

μ = n p = 8,69

E:

σ = n p q = 15 ( 0,5793 ) ( 0,4207 )

σ = 1,9

O escore - z que corresponde a 14,5 é:

z = x - μ σ = 14,5 - 8,7 1,9

z = 3,05

Pela Tabela da distribuição normal:

Então, a probabilidade de que pelo menos um frasco não esteja fora da variação aceitável é 0,9989 .

Espero ter conseguido ajudar, até mais!

Resposta

  1. P 9,65 < x - < 9,95 = 0,4207
  2. P x = 0,9989