Enunciado

16 – Mostre que, num liquido, a média dos valores do campo magnético dipolar é zero, calculando o valor médio do campo pela eq. 15.28. Sugestão: O elemento de volume em coordenadas polares é senθ dθdφ.

Passo 1

Vamos começar então pegando a Eq. 15.28 do Atkins que é a seguinte

B n u c = - γ ħ μ 0 4 π R 3 1 - 3 cos 2 ⁡ θ m I             E q 1

Onde,

-ℬnuc é o campo magnético do núcleo da partícula;

-γ é uma constante conhecida como a razão giromagnética do elétron;

-ħ é a constante de Planck, h, dividido por 2π:

ħ = h 2 π

-μ0 é permeabilidade no vácuo;

-R é a distância entre o elétron e o núcleo;

-θ é o ângulo de orientação da molécula;

-mI é o spin do elétron

Vamos fazer a seguinte definição

k = - γ ħ μ 0 4 π R 3 m I

Assim, a Eq1 fica agora como:

B n u c = k 1 - 3 cos 2 ⁡ θ         E q 2

Onde, k é uma constante que é independente do ângulo, pois todos os termos da equação definida para k são independentes do ângulo;

Passo 2

Para calcularmos o valor médio do campo magnético, podemos usar uma integração do campo magnético em um elemento de volume do liquido como foi sugerido, assim

B = ∬ B s e n ( θ ) d θ   d Φ

Substituindo pela Eq.2:

B = ∬ k 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n ( θ ) d θ   d Φ

Os intervalos de integração para θ é de 0 até π, enquanto que para o ângulo φ o intervalo é de 0 até 2π, assim:

B = k ∫ 0 π ( 1 - 3 cos 2 ⁡ θ ) s e n ( θ ) d θ ∫ 0 2 π d Φ

Passo 3

Bom para você analisar a afirmação de que o valor médio do campo é zero, você pode pegar a integral em relação a θ e calcular seu valor para o intervalo estabelecido.

∫ 0 π ( 1 - 3 cos 2 ⁡ θ ) s e n ( θ ) d θ

Para resolvermos essa integral podemos fazer as seguintes substituições simples para facilitar a resolução deixando a integral com uma função em que se conhece a sua integral:

x = cos ⁡ θ   e   d x = - s e n ( θ ) d θ

Assim,

∫ 0 π 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ = ∫ 0 π - 1 - 3 x 2 d x

Resolvendo a integral:

- ∫ 0 π 1 - 3 x 2 d x = - x + x 3

Substituindo,

∫ 0 π 1 - 3 cos 3 ⁡ θ s e n θ d θ = - cos ⁡ θ + cos 3 ⁡ θ π 0

Substituindo os valores:

- cos ⁡ π + cos 3 ⁡ π - - cos ⁡ 0 + cos 3 ⁡ 0

- - 1 + - 1 3 - - 1 + 1 = 1 - 1 - 0 = 0

Logo,

∫ 0 π 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ = 0

Consequentemente

B = k ∫ 0 π 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 2 π d Φ = 0

B = 0

Resposta

B = k ∫ 0 π 1 - 3 cos 2 ⁡ θ s e n θ d θ ∫ 0 2 π d Φ = 0

B = 0

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