Enunciado

Calcule o raio da cavidade formado por três discos circulares de raio r que estão em um arranjo planar de empacotamento compacto. Compare sua resposta com resultados experimentais usando três discos compactos e medindo o raio da cavidade que eles formam.

Passo 1

Muito bem galera, antes de qualquer coisa vamos desenhar esta situação:

Como o triângulo possui os quatro lados iguais, 2 r A , os seus ângulos serão 60°. Então qual será o valor de α ?

A metade, não é?

α = 30 °

Se já sabemos isso podemos relacionar as distâncias. No caso, a distância de A até o centro do disco da cavidade, O, será:

A O = r A + r C

Enquanto a distância de A até P:

A P = r A

Usando as propriedades do triângulo retângulo formado:

A P = A O . cos ⁡ 30 °

Substituindo:

r A = ( r A + r C ) . 3 2

Isolando o raio da cavidade:

r C = 2 3 - 1 r A

r C = 0,155 . r A

Então teremos o raio da cavidade equivalendo à 15,5% do raio do disco.

Passo 2

Para comparar com os resultados da literatura vamos deixar o resultado na forma de razão dos raios:

r C r A = 0,155

Se analisarmos a tabela abaixo:

Sabendo que nosso número de coordenação do disco da cavidade é três, a razão entre os raios que obtemos bate com o que é relatado na literatura.

Resposta

r C = 0,155 . r A

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