Enunciado

Deduza a Lei de Wien,   λ m á x   T é uma constante, onde λ m á x é o comprimento de onda correspondente ao máximo da distribuição de Planck na temperatura T . Deduza uma expressão para a constante como um múltiplo da s e g u n d a   c o n s t a n t e   d a   r a d i a ç ã o   c 2 = h c / k .

Passo 1

Aobaaa jooveeem!! Preparado para mais uma mega resolução do RA??!!! Leet’s boooraaa!!

Seguinte, tudo que precisamos fazer, é utilizar a Distribuição de Planck (Eq 8.5 na teoria) para tentarmos uma máximo valor para o comprimento de onda.

A tal da distribuição é a seguinte:

ρ = 8 π h c λ 5 e h c λ k T - 1

No final das contas, o que queremos é obter um valor de máximo para essa equação...e como fazemos isso mesmo?? Exato, derivando!

Passo 2

Então, teremos que derivar essa criatura em função do comprimento de onda:

d ρ d λ = 8 π h c λ 5 × 1 e h c λ k T - 1

Lembra da regrinha do produto?? Teremos que aplica-la:

d ρ d λ = - 5 8 π h c λ 6 × 1 e h c λ k T - 1 + 8 π h c λ 5 × h c k T λ 2 e h c k T λ e h c k T λ - 1 2

Lembre-se que a derivada de :

d 1 e - C x - 1 d x = C x e C x e C x - 1 2

Que obra radiotiva meu senhor... mas ok!

A gente ainda consegue dar uma ajeitada nisso:

d ρ d λ = - 5 λ ρ + h c k T λ 2 e h c k T λ e h c k T λ - 1 ρ

No começo tava ruim.... agora parece que ta no começo kkkkkkk

Passo 3

Maaass... lembra que o máximo de uma função a derivada é zero?? Então teremos:

5 λ ρ = h c k T λ 2 e h c k T λ e h c k T λ - 1 ρ

Podemos concelar alguns carinhas aí:

5 e h c k T λ - 5 = h c k T λ e h c k T λ

Beleza... agora teremos que fazer algumas suposições.... se assumirmos que

h c k T λ ≫ 1

Isso pode ser considerado, pois teremos um λ tendendo z e r o ( λ m á x ) ... com isso poderemos ignorar aquele 5 sozinho ali, e então cancelar os exponenciais:

5 = h c k T λ

E isolando:

λ m á x T = h c 5 k

E como o próprio enunciado disse:

c 2 = h c k

Teremos, finalmente:

λ m á x T = c 2 5

Beeeem chatinho né??!! Mas é isso! Bora pra próxima?? Te vejo lá!!

Resposta

Demonstrado!

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