Enunciado

Quando estudarmos macromoléculas no Cap 19, tais como polímeros sintéticos, proteínas e ácidos nucléicos, veremos que um tipo de conformação é a de uma cadeia randômica. Para uma cadeia randômico unidimensional de N unidades, a força restauradora para pequenos deslocamentos numa temperatura T é:

F = - k T 2 l ln ⁡ N + n N - n

Onde l é o comprimento de cada unidade monométrica e nl é a distância entre as terminações da cadeia. Mostre que para pequenas extensões ( n ≪ N ) a força restauradora é proporcional a n e, portanto, a cadeia sofre uma oscilação harmônica com constante de força igual a KT/NF. Admita que a massa envolvida na cadeia em vibração seja a massa total, Nm, onde m é a massa de uma unidade manométrica, e obtenha a distância média quadrática entre as terminações da cadeia devido a flutuações quânticas no seu estado vibracional fundamental.

Passo 1

E aí, genteeee! Tudo bem?

Vamos dar uma olhada na solução do problema P2.38, na parte (c) e (d). Primeiro, vamos lembrar que f = n N , e, portanto, a gente pode pegar essa parada e substituir dentro da equação que nos foi dada no problema, concorda?

F = - k T 2 l ln ⁡ N 1 + f N 1 - f = - k T 2 l ln ⁡ 1 + f 1 - f

F = - k T 2 l ln ⁡ 1 + f - ln ⁡ 1 - f

Passo 2

Vamos agora fazer o que o exercício nos diz pra fazermos, ou seja, n ≪ N e portanto, f ≪ 1   e o ln pode ser expandido da seguinte forma ó:

l n ⁡ ( 1 + f ) ≈ f

ln ⁡ 1 - f ≈ - f

Portanto, podemos escrever que:

F ≈ - k T 2 l f - - f = - f k T l = - n k T N l = - k T N l 2 x

Passo 3

No último passo, a gente percebe que a distância x é dada por n l , portanto n = x l . Essa é a lei de Hook com força constante k T N l 2

A raiz quadrada média do deslocamento é < x 2 > 1 2 . Na parte (b) do problema P9.15, < x 2 > para um oscilador harmônico foi avaliado e foi encontrado como sendo:

< x 2 >   = v + 1 2 × ℏ 2 m k f o r ç a 1 2

E temos ainda que < x 2 > 1 2   = ℏ l 2 1 2 × 1 m k T 1 4

Resposta

< x 2 > 1 2   = ℏ l 2 1 2 × 1 m k T 1 4

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