Enunciado

A expressão para a energia potencial de Coulomb é muito semelhante à expressão da energia potencial gravitacional geral, dada no Exercício A.35. Será que existe uma expressão semelhante a E p = m g h , a mudança de energia potencial quando um elétron muito afastado se aproxima até uma distância h pequena? Encontre a expressão da forma E p = e g h , com uma expressão apropriada para g, usando o mesmo procedimento do Exercício A.35.

Passo 1

Muito bem galera, essa aqui é bem chatinha, mas vamos devagarzinho.

A fórmula para a Energia Potencial de Coulomb é dada por:

E p = Q 1 Q 2 4 π ε 0 r

Vamos assumir que a distância r é dada pelo raio do átomo mais a distância até o elétron:

r = r a + h

Na equação:

E p = Q 1 Q 2 4 π ε 0 ( r a + h )

Vamos isolar o raio do átomo e reorganizar a equação:

E p = Q 1 Q 2 4 π ε 0 r a 1 + h r a

E p = Q 1 Q 2 4 π ε 0 r a . 1 + h r a - 1

Quando h ≪ r a podemos usar a aproximação 1 + x - 1 = 1 - x :

1 + h r a - 1 = 1 - h r a

Então:

E p = Q 1 Q 2 4 π ε 0 r a . 1 - h r a

Lembrando que:

Q 1 = e

Q 2 = - e

Então:

E p = - e ² 4 π ε 0 r a . 1 - h r a

Fazendo a distributiva:

E p = - e 2 4 π ε 0 r a + e ² h 4 π ε 0 r a ²

Se lembrarmos que a força de atração entre prótons e elétrons é dada por:

g = e 4 π ε 0 r a ²

Então:

E p = - e 2 4 π ε 0 r a + e g h

Assumindo que a energia potencial na superfície do átomo é dada por:

E p . O = - e 2 4 π ε 0 r a

Substituímos:

E p = E p . O - e g h

Rearranjando:

E p - E p . O = e g h

Sendo assim, a diferença de energia potencial, do núcleo até uma distância h é dada por:

∆ E p = e g h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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