As funções de onda que correspondem a estados de energia diferente da partícula em uma caixa são mutuamente “ortogonais”, pois, se as duas funções de onda são multiplicadas, uma pela outra, e, então, integradas sobre a dimensão da caixa, o resultado é zero. (a) Confirme que as funções de onda de n =1 e n=2 são ortogonais. (b) Demonstre, sem fazer cálculos, que todas as funções de onda com n ímpar são ortogonais a todas as funções com n par.

Passo 1

E ai galera, beleza?

Seguinte, essa questão pede no item (a) para confirmar que duas funções de onda de n=1 e n=2 são mutuamente ortogonais, ou seja, se as duas funções de onda são multiplicadas, uma pela outra, e, então, integradas sobre a dimensão da caixa, o resultado é zero.

Em resumo, seria isso aqui:

< f , g >   =   ∫ 0 L f x g x d x = 0

No caso, função de onda é dada por:

ψ n x = 2 L 1 2 s e n n π x L

Para n=1 e n=2, temos:

ψ 1 x = 2 L 1 2 s e n π x L

ψ 2 x = 2 L 1 2 s e n 2 π x L

Tranquilo?? Agora é só a gente verificar se elas são ortogonais, então, temos:

∫ 0 L ψ 1 x ψ 2 x d x

Vamos deixar de lado os termos 2 L 1 2 porque eles são constantes, beleza? E para facilitar vamos usar o Wolfram Alpha para resolver as integrais, afinal, não estamos aqui pra estudar cálculo hoje né? hahaha

Assim:

∫ 0 L s e n π x L s e n 2 π x L d x = 2 L 3 π s e n 3 π x L | L 0 = 2 L 3 π s e n 3 π L L - s e n 3 π 0 L = 0

Logo, verificamos que as funções são ortogonais!

Passo 2

Agora, no item (b) pede para demonstrar, sem fazer cálculos, que todas as funções de onda com n ímpar são ortogonais a todas as funções com n par.

Galera, seguinte, o que temos, para um caso geral é isso aqui:

∫ 0 L ( 2 L ) s e n 2 n π x L s e n ( 2 k - 1 ) π x L d x

Já que (2n) sempre representa um número par qualquer e (2k-1) sempre representa um número ímpar qualquer para todo n e para todo k.

Show! Vamos usar a sugestão da questão e plotar o gráfico da seguinte função:

f x = ( 2 L ) s e n 2 n π x L s e n ( 2 k - 1 ) π x L

Com a ajuda do Geogebra, fazendo n=1, k=1 e L=5, temos:

Note que, as áreas da parte de cima do gráfico e da parte de baixo são iguais! Mas o que isso significa?? Isso quer dizer que o resultado daquela integral feia que escrevemos lá em cima é zero! Sem fazer nenhuma conta!

Se você quiser brincar no Geogebra e alterar os valores para n, k e L, verá que isso sempre ocorre. Assim, demonstramos, sem fazer cálculos, que todas as funções de onda com n ímpar são ortogonais a todas as funções com n par. A matemática é linda, né?

Passo 3

Olha, a questão já acabou por aqui, mas caso você seja um aluno curioso e queira fazer o item (b) fazendo cálculos, vou te mostrar aqui nesse passo.

Mas lembra que a questão não pede isso, então se quiser já pode pular pra próxima sem crise, beleza??

Então vamo lá!

Galera, lembra da integral do passo 2

∫ 0 L 2 L s e n 2 n π x L s e n ( 2 k - 1 ) π x L d x

Então, se a gente resolver ela e encontrar que o resultado disso é zero, demonstramos o que a questão pede. De novo, pra resolver essa integral aqui a gente pode usar o Wolfram e desconsiderar o termo constante 2 L pra facilitar!

Contando com a ajuda do nosso software amiguinho, temos:

∫ 0 L s e n 2 n π x L s e n 2 k - 1 π x L d x    

= L 2 π s e n π x 2 k - 2 n - 1 L 2 k - 2 n - 1 - s e n π x 2 k + 2 n - 1 L 2 k + 2 n - 1 | L 0

= L 2 π s e n π L 2 k - 2 n - 1 L 2 k - 2 n - 1 - s e n π L 2 k + 2 n - 1 L   2 k + 2 n - 1 - s e n π 0 2 k - 2 n - 1 L 2 k - 2 n - 1 - s e n π 0 2 k - 2 n - 1 L 2 k - 2 n - 1 =0

Logo, todas as funções de onda com n ímpar são ortogonais a todas as funções com n par.

Fechooou!! Vamos pra próxima?? :D

Resposta

  1. ∫ 0 L s e n π x L s e n 2 π x L d x = 2 L 3 π s e n 3 π x L | L 0 = 2 L 3 π s e n 3 π L L - s e n 3 π 0 L = 0

  2. Analisando a área sobre o gráfico verificamos que sempre são ortogonais,