Enunciado

Neste problema exploramos a ideia, introduzida no Impacto I9.2, de que é preciso considerar os efeitos quânticos na descrição das propriedades eletrônicas de nanocristais metálicos, modelados aqui como caixas tridimensionais. (a) Obtenha a equação de Schrödinger para uma partícula de massa m numa caixa 3D retangular de lado, L 1 , L 2 e L 3 . Mostre que a função de onda e a energia são definidas por três números quânticos. (b) Use o resultado da parte (a) para um elétron se movendo numa caixa cúbica de lado L = 5 nm e trace o diagrama de energia semelhante à Fig. 9.2 mostrando os 15 primeiros níveis de energia. Observe que cada nível de energia pode consistir em estados de energia degenerados. (c) Compare o diagrama de níveis da parte (b) com o diagrama de níveis de energia de uma caixa 1D de comprimento L = 5 nm. Os níveis de energia ficam mais ou menos esparsamente distribuídos na caixa cúbica do que na caixa unidimensional?

Passo 1

Vamos analisar tudo o que o exercício começa pra gente fazer. Então, na letra (a) vamos lembrar qual é a equação de Schrödinger para uma caixa:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ψ = E ψ

Assumindo que a solução é produto de três funções de uma variável simples, ou seja:

ψ x ,   y , z = X x Y y Z z

Substituindo na equação de Schrödinger temos que:

- ℏ 2 2 m Y Z ∂ 2 X ∂ x 2 + X Z ∂ 2 Y ∂ y 2 + X Y ∂ 2 Z ∂ z 2 ψ = E X Y Z

Vamos dividir os dois lados por XYZ, vamos ter:

- ℏ 2 2 m 1 X ∂ 2 X ∂ x 2 + 1 Y ∂ 2 Y ∂ y 2 + 1 Z ∂ 2 Z ∂ z 2 ψ = E

Para ilustramos o que foi proposto, vamos isolar os termos que dependem de X do lado esquerdo da equação:

- ℏ 2 2 m 1 X ∂ 2 X ∂ x 2 = E x

Portanto, - ℏ 2 2 m ∂ 2 X ∂ x 2 = E x X

Note que isso é a equação de Schrödinger para uma partícula em uma caixa 1D. Note também que nós podemos então isolar os termos de y e z de forma similar, certo?

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Y ∂ y 2 = E y Y

- ℏ 2 2 m ∂ 2 Z ∂ z 2 = E z Z

Passo 2

(b) A função de onda tridimensional é o produto de três funções com variáveis simples!

ψ x , y , z = X x Y y Z z

ψ ( x , y , z ) = 2 L 1 1 2 s e n n x π x L 1 × 2 L 2 1 2 s e n n y π y L 2 × 2 L 3 1 2 s e n n z π z L 3

Cada constante de separação (Ex, Ey e Ez) depende se seu próprio número quântico. As três constantes somadas dão a energia total do sistema, portanto, temos que:

E = E x + E y + E z = h 2 8 m n x 2 L 1 2 + n y 2 L 2 2 + n z 2 L 3 2

Passo 3

(c) Para uma caixa cúbica, temos que: L 1 = L 2 = L 3 = L , logo

E = h 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 8 m L 2

Os níveis de energia são esses aqui ó:

Passo 4

(d) Comparando esse diagrama com o diagrama da figura 9.2 do livro, os níveis de energia aqui estão muito mais próximos entre si. Uma caixa 1, o 15° nível não é alcançado até que se tenha E h 2 8 m L 2 = 225 , e o nível anterior é 29. Em uma caixa 3D, os primeiros 15 níveis de energia estão na faixa de 29 unidades. Os níveis de energia em uma caixa 1D são esparsadas comparadas com uma caixa 3D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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