Enunciado

Que porcentagem do volume é ocupada por cilindros de comprimento l e raio r em empacotamento compacto?

Passo 1

Muito bem galera, antes de qualquer coisa vamos lembrar que o volume de um cilindro é dado por:

V = Á r e a   d a   B a s e × C o m p r i m e n t o

V c i l i n d r o = π r ² . l

Se organizarmos os cilindros com todas as bordas se tocando para maximizar o empacotamento:

Analisando o volume deste triângulo:

V t r i a n g u l o = b h 2 × l

Se a base equivale a dois raios:

b = 2 r

E a altura nós podemos calcular usando:

H i p ² = C A ² + C O ²

2 r 2 = r ² + h ²

h ² = 4 r ² - r 2 = 3 r ²

Então:

h = r 3

Substituímos:

V t r i a n g u l o = r ² 3 . l

Passo 2

O triângulo formado é um triângulo equilátero, com os três lados iguais e ângulos de 60°.

Se o cilindro possui 360°, os 60° representam:

60 ° 360 ° = 1 6

Como temos três cilindros:

V c i l i n d r o = 3 × 1 6 × π r ² . l = π r ² . l 2

Dividindo pelo volume total:

V c i l i n d r o V t r i a n g u l o = π r ² . l 2 r ² 3 . l = π 2 3 = 0,907

Em porcentagem:

V c i l i n d r o = 90,7 % . V t r i a n g u l o

Prontos pra próxima?

Resposta

90,7 %

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