Soluções analíticas diretas para a equação de van der Waals dão os seguintes valores para as constantes críticas: v ~ t = 3 b , P c = a 27 b ² e T c = 8 a 27 b R . Mostre que esses valores satisfazem a equação de van der Waals. Veja a Eq. 2.20 e decida qual é a propriedade especial da equação de estado que permite encontrar a solução matemática para valores críticos.

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Química, vamos lá?

Pessoal, essa questão, é uma questão de pura manipulação matemática, em que partiremos da equação de van der Waals: P + a v ~ ² ∙ v ~ - b = R ∙ T

Até chegarmos nas suas constantes críticas:

v ~ t = 3 b

P c = a 27 b ²

T c = 8 a 27 b R

Passo 2

Pessoal, agora é realizar as manipulações matemáticas necessárias, prestem muita atenção, qualquer erro pode ser crucial, vamos lá!

P + a v ~ ² ∙ v ~ - b = R ∙ T

O primeiro passo é retirar o mínimo do primeiro termo da equação, fica assim:

P v ~ 2 + a v ~ ² ∙ v ~ - b = R ∙ T

Passando o v ~ 2 para o lado oposto da equação, fica assim:

( P v ~ 2 + a ) ∙ v ~ 2 - b =   R ∙ T ∙ v ~ 2

Agora vamos realizar a abertura dos dois primeiros termos da equação, fica assim:

P v ~ 3 - b P v ~ 2 + a v ~ - a b = R T v ~ 2

Realizando apenas uma manipulação simples, fica assim:

P v ~ 3 - b P v ~ 2 - R T v ~ 2 + a v ~ - a b = 0

Agora dividindo a equação por “p”, fica assim:

v ~ 3 - b v ~ 2 - R T P v ~ 2 + a P v ~ - a b P = 0

Realizando mais uma manipulação simples e colocando alguns termos em evidência, fica assim, para as condições críticas:

v ~ 3 + - b - R T P v ~ 2 + a P v ~ + - a b P = 0

Realizando as substituições das pressões e temperaturas para as críticas, fica assim (Eq. 1):

v ~ 3 + - b - R T c P c v ~ 2 + a P c v ~ + - a b P c = 0

Podemos expressar que o volume molar é o mesmo que o volume molar crítico:

v ~ - v ~ c ∙ v ~ - v ~ c ∙ v ~ - v ~ c = 0 ; v ~ - v ~ c ³  

Abrindo o polinômio v ~ - v ~ c ³ , fica assim (Eq.2):

v ~ 3 - 3 v ~ ² v ~ c + 3 v ~ v ~ c ² - v ~ c ³

Relacionando os coeficientes das equações 1 e 2 (cúbicas), fica assim:

- b - R T C P C = - 3 v ~ c

3 v ~ c = b + R T C P C (Eq.3)

a P C = 3 v ~ c 2 (Eq.4)

v ~ c 3 = a b P c (Eq.5)

Agora vamos dividir a Eq.4 pela Eq.5

3 v ~ c v ~ c 3 = a P c a b P c

3 v ~ c = 1 b

v ~ c = 3 b

Conseguimos chegar no volume crítico, mas ainda não acabou, vamos substituir v ~ c na equação 5, ficando assim:

3 b ³ = a b P c

27 b ³ = a b P c

P c = a 27 b ²

Beleeeeeeeeeezaaaaa, desembolamos a pressão crítica, mas ainda não acabou!!! Vamos substituir v ~ c na equação 5, ficando assim:

3 v ~ c = b + R T C P C

3 ( 3 b ) = b + R T C a 27 b ²

9 b - b = R T C a 27 b ²

a 27 b ² ∙ 8 b = R T C

R T C = 8 a 27 b

T C = 8 a 27 b

Shooooooooooooooooow, encontramos a pressão crítica, isso significa que temos todas as três condições críticas (Volume, Pressão e Temperatura), fechamos a primeira parte do exercício.

Passo 3

Bora lá galera, a segunda parte do exercício é decidir, qual é a propriedade especial da equação de estado que permite encontrar a solução matemática para valores críticos.

A resposta é: a propriedade especial, é a propriedade “b” tendo que toda a equação de van der Waals gira em torno da mesma.

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

v ~ c = 3 b

P c = a 27 b ²

T C = 8 a 27 b

A propriedade especial, é a propriedade “b” tendo que toda a equação de van der Waals gira em torno da mesma.