Enunciado

Suponha f ( t )   =   f 1 t f 2 ( t ) , em que

f 1 ( t )   =   c o s   ω 0 t ,

f 2 t =   1 ,   - τ 2 < t < τ / 2 ;

f 2 ( t )   =   0 , em todos os outros instantes de tempo.

a) Use a convolução no domínio da frequência para determinar F ( ω ) .

b) O que acontece a F ( ω ) à medida que a largura de f 2 t aumenta de modo que f t inclua um número cada vez maior de ciclos de f 1 ( t ) ?

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão?

Bora pra mais uma questãozinha pra exercitar o que a gente sabe sobre transformada de Fourier!

  1. Com todas as informações do enunciado, temos que:
  2. F 2 u = τ   s e n   u τ 2 u τ / 2

    Usando convolução, temos:

    F ω = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F 1 u F 2 ω - u d u  

    Ou seja, desenvolvendo essa equação, temos que:

    F ω = τ 2 x s e n   ω + ω 0 τ / 2 ω + ω 0 τ 2 + τ 2 x s e n   ω - ω 0 τ / 2 ω - ω 0 τ 2

    Passo 2

  3. A medida que τ aumenta, a amplitude de F ω aumenta em ω = ± ω 0 e ao mesmo tempo, a frequência de F ω se aproxima de zero uma vez que ω se desvia de ± ω 0 . Ou seja:

τ 2 ∫ - ∞ ∞ s e n   ω - ω 0 τ / 2 ω - ω 0 τ 2 d ω = ∫ - ∞ ∞ s e n   ω - ω 0 τ 2 ω - ω 0 τ 2 τ 2 d ω = π

Uma vez que t → ∞ ,

f 1 t f 2 t → cos ⁡ ω 0 t

F ω → π δ ω - ω 0 + δ ω + ω 0

Resposta

  1. Item a:
  2. F ω = τ 2 x s e n   ω + ω 0 τ / 2 ω + ω 0 τ 2 + τ 2 x s e n   ω - ω 0 τ / 2 ω - ω 0 τ 2

  3. Item b:

f 1 t f 2 t → cos ⁡ ω 0 t

F ω → π δ ω - ω 0 + δ ω + ω 0