Tem-se que F ( ω )   =   e ω u ( - ω )   +   e - ω u ( ω ) .

a) Determine f(t).

b) Determine a energia associada a f(t) por integração no domínio do tempo.

c) Repita o item (b) usando integração no domínio da frequência

d) Determine o valor de ω 1 para que f(t) tenha 90% da energia na faixa de frequências 0 ω | ω 1 .

Passo 1

Falaaa, pessoal! Como vocês estão?

Bora pra mais uma questãozinha pra exercitar o que a gente sabe sobre transformada de Fourier!

  1. Desenvolvendo o sistema acima, podemos expressar como:
  2. f t = 1 2 π ∫ - ∞ 0 e ω e j t ω d ω + ∫ 0 ∞ e - ω e j t ω d ω = 1 / π 1 + t 2

  3. Com o conhecimento adquirido, temos que:
  4. W = 2 ∫ 0 ∞ 1 π 2 1 + t 2 2 d t = 2 π 2 ∫ 0 ∞ d t 1 + t 2 2 = 1 2 π J

    Passo 2

  5. Usando integração no domínio da frequência, temos que:
  6. W = 1 π ∫ 0 ∞ e - 2 ω d ω = 1 2 π   J  

  7. Com o conhecimento adquirido acima, temos que:

1 π ∫ 0 ω 1 e - 2 ω d ω = 0,9 2 π → 1 - e - 2 ω 1 = 0,9 → e 2 ω 1 = 10  

Logo:

ω 1 = 1 2 ln ⁡ 10   ≅ 1,15   r a d / s

Resposta

  1. Item a:
  2. f t = 1 2 π ∫ - ∞ 0 e ω e j t ω d ω + ∫ 0 ∞ e - ω e j t ω d ω = 1 / π 1 + t 2

  3. Item b:
  4. W = 2 ∫ 0 ∞ 1 π 2 1 + t 2 2 d t = 2 π 2 ∫ 0 ∞ d t 1 + t 2 2 = 1 2 π J

  5. Item c:
  6. W = 1 π ∫ 0 ∞ e - 2 ω d ω = 1 2 π   J  

  7. Item d:

ω 1 = 1 2 ln ⁡ 10   ≅ 1,15   r a d / s