Exercícios Resolvidos de Relações para calores específicos e gases ideias

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Enunciado

A partir da relação fornecida abaixo, obtenha uma outra relação que forneça a variação do calor específico a pressão constante com a pressão, mantendo a temperatura constante.

d s = c p d T T - ∂ v ∂ T p d p

Dica: Para uma função da forma d z = M d x + N d y podemos achar a segunda derivada como

∂ M ∂ y x = ∂ 2 z ∂ x ∂ y

∂ N ∂ x y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x

Passo 1

O problema da uma dica sobre uma função geral d z . Se observarmos podemos ver que a função

d s = c p d T T - ∂ v ∂ T p d p

Pode ser comparada com a função d z , onde:

  • z = s
  • x = T
  • M = c p T
  • y = p
  • N = - ∂ v ∂ T p

Passo 2

Aqui vamos notar que a segunda derivada das formas ∂ 2 z ∂ x ∂ y e ∂ 2 z ∂ y ∂ x são iguais porque a ordem das parciais no denominador não altera o resultado, sendo assim vamos ter que

∂ M ∂ y x = ∂ N ∂ x y

Passo 3

Agora vamos substituir os valores conforme o passo 1

∂ c p T ∂ p T = ∂ - ∂ v ∂ T p ∂ T p

Sem fazer cálculo nenhum vamos só dar uma ajeitada nessa equação para ficar mais bonitinha

∂ c p / T ∂ p T = - ∂ ∂ T ∂ v ∂ T p

Isso é igual a

∂ c p ∂ p T = - T ∂ 2 v ∂ T 2 p

Lembre que a temperatura é constante por isso sai da derivada e passa multiplicando para o outro lado e que a derivada de uma derivada é sua derivada segunda.

Resposta

A expressão é dada por:

∂ c p ∂ p T = - T ∂ 2 v ∂ T 2 p

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