Exercícios Resolvidos de Relações para calores específicos e gases ideias

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Enunciado

utilize a equação de Gibbs d u = T d s - p d v e uma das relações de Maxwell para achar uma expressão para ∂ u ∂ p T que apenas as grandezas: pressão, volume específico e temperatura estejam envolvidos. Qual será o valor dessa derivada parcial para um gás ideal?

Passo 1

Como o próprio problema pede vamos iniciar com a equação de Gibbs

d u = T d s - p d v

Como queremos ∂ u ∂ p vamos dividir a equção por ∂ p

∂ u ∂ p T = T ∂ s ∂ p T - p ∂ v ∂ p T

Passo 2

Agora vamos utilizar uma relação de Maxwell para eliminar os termos indesejados. No caso utilizaremos a relação

∂ s ∂ p T = - ∂ v ∂ T p

Obtendo

∂ u ∂ p T = - T ∂ v ∂ T p - p ∂ v ∂ p T

Passo 3

No caso de um gás ideal vamos ter que v = R T P então a derivada de v fica da forma

∂ v ∂ T p = R p

e

∂ v ∂ p T = - R T p - 2

Passo 4

Substituindo na derivada ∂ u ∂ p   T vamos ter

∂ u ∂ p T = - T R p - p ⋅ - R T p - 2 = 0

Logo, como já esperávamos, a energia interna não depende da pressão e varia com a temperatura apenas.

Resposta

A expressão é dada por:

∂ u ∂ p T = - T ∂ v ∂ T p - p ∂ v ∂ p T

E o valor para o caso de um gás ideal é zero!

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