Exercícios Resolvidos de Sistemas em equilíbrio

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Enunciado

Considere um poço de gás com profundidade de 2 km contendo uma mistura de metano e etano a temperatura uniforme de 30°C. A pressão no topo do poço é de 14 MPa e a composição na base molar é de 90% metano e 10% etano. Cada componente está no equilíbrio (de cima a baixo) com d G + g d Z = 0 e assuma hipótese de gás ideal. Determine a pressão e a composição no fundo do poço. Dado: g = 9,8   m / s 2 ; R - = 8,3145 k J k g   K ; M M m e t a n o = 16   k g / k m o l ; M M e t a n o = 30   k g / k m o l

Passo 1

Como o próprio problema já evidenciou temos que

d G + g d Z = 0

Vamos aplicar essa equação tanto para o etano quanto para o metano, além disso vamos trabalhar com as grandezas levando em consideração o número de mols e a massa (diferentemente do exercício anterior no qual utilizamos as grandezas específicas). Assim vamos ter:

Para o metano

n m e t G - m e t 1 - G - m e t 2 + n m e t M M m e t g Z 1 - Z 2 = 0

Para o etano

n e t G - e t 1 - G - e t 2 + n e t M M e t g Z 1 - Z 2 = 0

Passo 2

A variação da função de Gibbs será

Δ g = Δ h - T Δ s

Como a entalpia pode ser escrita como Δ h = c p Δ T então a variação da entalpia é zero, logo:

Δ g = - T Δ s

Lembrando que a variação da entropia para processos isotérmicos é

Δ s = R ln ⁡ p 1 p 2

Então

Δ g = R T ln ⁡ P 2 P 1

Passo 3

Utilizando a variação de Gibbs mostrada teremos:

n m e t R - T ln ⁡ P m e t 2 P e t 1 + n m e t M M m e t g Z 1 - Z 2 = 0

R - T ln ⁡ P m e t 2 P m e t 1 = M M m e t g Z 2 - Z 1

E para o etano

R - T ln ⁡ P e t 2 P e t 1 = M M e t g Z 2 - Z 1

Percebe aqui que temos de utilizar a pressão de cada componente. Mas aí, como estamos utilizando a hipótese de gases perfeitos, é só fazer

P m e t 1 = y m e t P 1

P m e t 1 = 0,9 ⋅ 14 = 12,6   M P a

Para o etano

P e t 1 = y e t P 1

P e t 1 = 0,1 ⋅ 14 = 1,4   M P a

Passo 4

Agora basta substituir os valores e calcular a pressão e achar a composição, vamos fazer primeiro para o metano:

R - T ln ⁡ P m e t 2 P m e t 1 = M M m e t g Z 2 - Z 1

8,3145 ⋅ 273 + 30 ⋅ ln ⁡ P m e t 2 12,6 = 16 ⋅ 9,8 ⋅ 2

Repare que aqui utilizamos 2 ao invés de 2000 para trabalharmos com kJ como o resto das propriedades.

ln ⁡ P m e t 2 12,6 = 0 , 12 44

P m e t 2 = 12,6 ⋅ e 0,1244 = 14,27   M P a

Para o etano

R - T ln ⁡ P e t 2 P e t 1 = M M e t g Z 2 - Z 1

8,3145 ⋅ 273 + 30 ⋅ ln ⁡ P e t 2 1,4 = 30 ⋅ 9,8 ⋅ 2

P e t 2 = 1,4 ⋅ e 0,2334 = 1,77   M P a

Passo 5

Portanto, a pressão total será igual a soma de P m e t + P e t

P = 1,77 + 14,27 = 16,04 M P a

Passo 6

Para achar a composição faremos parecido com o final do passo 3.

P m e t 2 = y m e t 2 P 2

y m e t 2 = P m e t 2 P 2

y m e t 2 = 14,27 16,04 = 0,8897

Logo

y e t 2 = 1 - 0,8897 = 0,1103

Resposta

P = 16,04 M P a

y m e t 2 = 0,8897

y e t 2 = 0,1103

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