Exercícios Resolvidos de Subespaços Invariantes

Lista de monitoria 2 para a P3, 2015.1, exercício 4, Álgebra Linear I.

Construa uma transformação linear T : R 3 R 3 satisfazendo as seguintes condições:

  • Algum subespaço U R 3 tal que dim T U = 1
  • T U U

Passo 1

Bom, existem vários jeito de resolver essa questão. Qualquer T L que satisfaça as condições do enunciado tá valendo!

O que a questão está pedindo é exatamente um subespaço invariante! Só que com a dim T U = 1 . Mas lembra que autoespaços também são subespaços invariantes? Então, um possível jeito de resolver essa questão, é montar uma T , que possui um autovalor λ 0 e pegar um dos seus autovetores e formar nosso espaço U .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, vamos chutar essa T aqui:

T x , y , z = ( x , y , 0 )

Podemos ver que nessa T :

T 1,0 , 0 = ( 1,0 , 0 )

T 2,0 , 0 = 2,0 , 0

T x , 0,0 = 1 ( x , 0,0 )

E assim podemos ver que ( 1 , 0,0 ) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1 . Não necessariamente só temos ( 1 , 0,0 ) como autovetor desse autovalor, mas isso não importa, pois a condição do exercício já está feita!

Passo 3

Seja U = s p a n 1 , 0,0 . Então T U = s p a n T 1 , 0,0 = s p a n 1,0 , 0 dim T U = 1 .

Resposta

Uma possível T é T x , y , z = ( x , y , 0 ) , com U sendo U = s p a n 1,0 , 0 .

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