Enunciado

Um tanque de diâmetro D 0 10 m está inicialmente preenchido com água 2   m acima do centro de uma válvula de diâmetro D     10   c m próxima ao fundo. A superfície do tanque está aberta para a atmosfera, e o tanque drena a água por um tubo de comprimento L     100   m conectado à válvula. O coeficiente de atrito do tubo é dado como f   0,015 , e a velocidade de descarga é expressa como V = 2 g z 1,5 + f L / D , onde z é a altura da água acima do centro da válvula. Determine (a) a velocidade de descarga inicial do tanque e (b) o tempo necessário para esvaziar o tanque. O tanque pode ser considerado vazio quando o nível de água baixa para o centro da válvula.

Passo 1

Para evitar confusões durante a questão vamos usar o símbolo V para volume, V ˙ para vazão volumétrica, e o símbolo v → para expressar velocidade escalar ou vetorial.

Abaixo temos um esquema do tanque.

No instante inicial a altura z é igual a dois metros. Aplicando isto à fórmula podemos calcular a velocidade v → :

v → = 2 g z 1,5 + f L D

v → = 2 ⋅ 9,81   m / s ⋅ 2   m 1,5 + 0,015 ⋅ 100   m 10 ⋅ 10 - 2 m

v → = 1,54 m s

Passo 2

A vazão do tanque é dada pela área da válvula vezes a velocidade

V ˙ = A v a l v u l a ⋅ v →

V ˙ = π D 2 4 ⋅ 2 g z 1,5 + f L D

A quantidade de volume que deixou um tanque é igual a vazão vezes o tempo. Para uma variação de tempo infinitesimal temos:

d V s a i = V ˙ ⋅ d t

d V s a i = π D 2 4 ⋅ 2 g z 1,5 + f L D ⋅ d t

Essa equação por si só não resolve nosso problema, pois não sabemos o comportamento da variável z . Então, vamos procurar uma outra maneira de expressão o volume que sai do tanque

Passo 3

Existe uma outra forma de calcular o volume que sai do tanque. Veja a imagem abaixo, onde uma certa quantidade de volume saiu do tanque (azul escuro).

A quantidade de volume d V s a i que saiu do tanque é:

d V s a i = π D 0 2 4 ⋅ d z

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões para o volume que sai do tanque:

π D 2 4 ⋅ 2 g z 1,5 + f L D ⋅ d t = π D 0 2 4 ⋅ d z

Simplificando:

D 2 ⋅ 2 g z 1,5 + f L D ⋅ d t = D 0 2 ⋅ d z

Como queremos encontrar o tempo, vamos isolar d t e reorganizar a equação:

d t = D 0 2 D 2 ⋅ 1,5 + f L D 2 g ⋅ z - 1 / 2 ⋅ d z

Aplicando os valores:

d t = 10 2 0,1 2 ⋅ 1,5 + 0,015 ⋅ 100 0,1 2 ⋅ 9,81 ⋅ z - 1 / 2 ⋅ d z

d t = 9170,49 ⋅ z - 1 / 2 ⋅ d z

E agora integramos! O tempo inicia em zero e vai até o valor t f que queremos descobrir. O z varia entre 0 e 2

∫ 0 t f d t = ∫ 0 2 9170,49 ⋅ z - 1 2 ⋅ d z

t 0 t f     = 9170,49 ⋅ 2 z 1 2 0 2

t f     = 9170,49 ⋅ 2 ⋅ 2 1 2

t f     = 25938,06   s

t f     = 7,21   h

Resposta

v → = 1,54 m s

t f     = 7,21   h

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