UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.3a
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
Faaaaala pessoa, tudo tranquilo com vocês?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
E aí, pegaram a ideia?
Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.
Vamo nessa!
Passo 2
Bom, temos o limite:
Ou seja, o numerador é:
E, o denominador é:
Vamos analisar para qual o valor que o numerador estará tendendo quando .
Como tende a e também tende a , temos:
Massa! Vamos analisar agora o denominador:
pois o tende a , quando .
Assim, caímos em uma das condições para aplicação da regra de L’Hospital!
Passo 3
Usando a regra de L’Hospital, temos que:
A derivada do numerador vale:
Já a do denominador, vale:
Daí, ficamos com:
Substituindo o valor que está tendendo, temos:
Puts... continuamos com um numerador e denominador tendendo a .
Logo, precisamos aplicar L’Hospital mais uma vez...
Assim:
Vamos começar reescrevendo o numerador:
Derivando, temos:
O que irá nos dar:
Já quando ao denominador, temos:
Como:
Vem que:
Beleza, vamos derivar!
Voltando então ao nosso limite, vamos ter:
Pessoal, se aplicarmos o limite agora, iremos novamente ter algo do tipo .
Pois, tanto o numerador irá zerar , como o denominador .
Assim, teremos que aplicar L’Hospital mais uma vez...
FÉ GENTE!!
Passo 4
Aplicando L’Hospital mais uma vez, teremos que:
A derivada do numerador é bem tranquila, teremos:
Já a derivada do denominador, será:
Precisamos usar a regra do produto. Para isso, vamos calcular primeiro a derivada do termo:
Ela vale:
Simplificando um pouco, temos:
Vamos agora calcular a derivada do outro termo do denominador:
Temos:
Beleza!
Daí, vamos aplicar a regra do produto para calcular a derivada desses termos, ou seja:
Vamos ter:
Muito bom!
Voltando então ao limite vamos ter que:
Agora nem dá mais para aplicarmos novamente L’Hospital, pois o numerador é . Então vai ter que dá certo haha!
Vamos substituir na nossa função o valor que está tendendo, ou seja, . No denominador, teremos:
Logo, vamos ter que:
Portanto, finalmente encontramos que:
É galerinha... deu um trabalho, bom mas saiu!
Obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😊