Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

d ) lim x → 1 ⁡ x 1 x - 1

Passo 1

Olá pessoal, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 1 ⁡ x 1 x - 1

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 1 ⁡ x 1 x - 1 = lim x → 1 ⁡ e ln ⁡ x 1 x - 1

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x 1 x - 1

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 1 ⁡ 1 x - 1 ⋅ ln ⁡ x

∴ L = e lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 ⋅

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1

Massa! Vamos substituir o valor que x está tendendo para verificar se caímos em algum dos casos de aplicação da regra de L’Hospital.

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = ln ⁡ 1 1 - 1

= 0 0

Opa, de fato uma indeterminação... Vamos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Para aplicar L’Hospital, vamos iniciar derivando o numerador:

ln ⁡ x ' = 1 x

Agora vamos derivar o denominador:

x - 1 ' = 1

Daí, voltando para o limite, pela regra de L’Hospital, temos:

lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 = lim x → 1 ⁡ 1 x

= 1

Daí, voltando para o nosso limite L , temos:

L = e lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 ⋅

Substituindo, vem que:

L = e lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x x - 1 ⋅

L = e

Uhuuul! Matamos mais um!

É isso aí pessoal, tamo junto!

Resposta

e

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)