Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

c ) lim x → 0 ⁡ e x - e - x s e n   x

Passo 1

Oii gente, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x s e n   x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar substituindo o valor que x está tendendo dentro do limite para verificar se ele atende à uma das condições da regra de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ e x - e - x s e n   x = e 0 - e - 0 s e n   0

= 1 - 1 0 = 0 0

Opaaa, encontramos 0 / 0 .

Sendo assim, podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Começando pela derivada do numerador, temos:

e x - e - x ' = e x + e - x

Já no denominador, para a sua derivada temos:

s e n   x ' = cos ⁡ x

Portanto, pela regra de L’Hospital, podemos escrever:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x s e n   x = lim x → 0 ⁡ e x + e - x cos ⁡ x

Excelente!

Substituindo o valor que x está tendendo dentro dessa nova expressão do limite, vem que:

lim x → 0 ⁡ e x + e - x cos ⁡ x = e 0 + e - 0 cos ⁡ 0

= 1 + 1 1 = 2

Portanto:

lim x → 0 ⁡ e x - e - x s e n   x = 2

Uhuuul!

Matamos mais uma questãozita pessoal 😊

Até a próxima!

Resposta

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Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)