Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

b ) lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x

Passo 1

Faaaala galera do bem, como vocês estão/

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

E aí, pegaram a ideia?

Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.

Vamo nessa!

Passo 2

Antes de tudo, vamos deixar o limite dado com uma fração dentro dele. Assim poderemos avaliar se ele satisfaz ou não a regra de L’Hospital.

Temos:

x s e n π x = s e n π x 1 x

Daí, podemos fazer ainda uma mudança de variável:

1 x = u

Logo, se x → + ∞ :

u → 0 +

Então, reescrevemos o limite como:

lim x → + ∞ ⁡ x s e n π x = lim u → 0 + ⁡ s e n π u u

Excelente!

Agora vamos verificar se esse limite satisfaz às condições para aplicação da regra de L’Hospital.

Vamos substituir o valor que u está tendendo, dentro do nosso limite. Assim, vamos ter:

lim u → 0 + ⁡ s e n π u u = 0 0

Opaaaa, muito bom! Isso significa que podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

Vamos aplicar a regra de L’Hospital. Pra isso, começaremos calculando a derivada do numerador:

s e n π u ' = π ⋅ c o s ⁡ ( π u )

Já para a derivada do denominador, temos:

u ' = 1

Daí, voltando para o limite, vem que:

lim u → 0 + ⁡ s e n π u u = lim u → 0 + ⁡ π ⋅ cos ⁡ π u

Substituindo o valor que u está tendendo, vem que:

lim u → 0 + ⁡ s e n π u u = π

Ou seja:

lim x → + ∞ ⁡ x s e n �� x = π

É isso pessoal, achamos a resposta.

Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima! 😉

Resposta

π

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)