Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.

e ) lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 tan ⁡ x

Passo 1

Fala pessoal, tudo na paz por aí?

Nessa questão precisamos calcular o limite:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 tan ⁡ x

usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?

Bora dar uma revisada!

Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:

1 ) Numerador e denominador tendem a zero ( 0 ) ;

2 ) Numerador e denominador tendem a ±   infinito ( ± ∞ ) ;

O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.

Ou seja, se estamos calculando:

lim x → x 0 ⁡ f x g x

E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:

lim x → x 0 ⁡ f x g x = lim x → x 0 ⁡ f ' x g ' x

Tranquilo?

Mas, para podermos verificar se o problema está dentro das regras de L’Hospital, precisaremos antes transformá-lo em uma fração. Pra fazer isso, a ideia é usarmos a propriedade das exponenciais que:

a = e ln ⁡ a

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos usar a propriedade que comentamos no passo anterior para escrever:

L = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 tan ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e ln ⁡ cos ⁡ x 1 tan ⁡ x

Pela propriedade do limite e continuidade, podemos jogar o limite para cima do expoente. Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x 1 tan ⁡ x

Pela propriedade do logaritmo, podemos passar o expoente multiplicando o l n . Daí:

L = e lim x → 0 ⁡ 1 tan ⁡ x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x

∴ L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x tan ⁡ x

Muito bom! Conseguimos colocar o limite de uma fração.

Temos que calcular:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x tan ⁡ x

Vamos substituir o valor que x está tendendo dentro do limite para verificar se cairemos em um dos casos da regra de L’Hospital.

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x tan ⁡ x = ln ⁡ cos ⁡ 0 0

= ln ⁡ 1 0 = 0 0

Opaaa, temos um caso para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador para aplicar o limite novamente.

Começando pelo numerador:

ln ⁡ cos ⁡ ( x ) ' = 1 cos ⁡ x ⋅ - s e n   x

Já no denominador, temos:

tan ⁡ x ' = sec 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x

Substituindo esses resultados no limite, temos:

lim x → 0 ⁡ ( ln ⁡ cos ⁡ x ) ' ( tan ⁡ x ) ' = lim x → 0 ⁡ - s e n   x cos ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x  

= lim x → 0 ⁡ - s e n   x ⋅ cos ⁡ x

Assim, podemos substituir x = 0 dentro do nosso limite.

Vamos ter:

lim x → 0 ⁡ - s e n   x ⋅ cos ⁡ x = - s e n   0 ⋅ cos ⁡ 0

= 0

Excelente!

Daí, voltando para L , vem:

L = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x tan ⁡ x

= e 0

Portanto:

L = 1

Prontinho!!

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Resposta

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Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)