UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.3b
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
E aí, pegaram a ideia?
Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.
Vamo nessa!
Passo 2
Para tentarmos usar a regra de L’Hospital, vamos transformar isso em uma única fração:
Quando , a tende a também.
Logo, temos um limite do tipo:
E, podemos usar a regra de L’Hospital.
Assim, temos:
Lembrando que a derivada da tangente vale:
Logo, para o numerador temos:
E, a derivada do numerador, vale:
Daí, voltando para o limite, temos:
Quando , a . Logo, o numerador vai para:
Já para o denominador, a tende a quando tende a . Assim:
Portanto, o nosso limite continua do tipo e precisamos aplicar L’Hospital mais uma vez.
Passo 3
Vamos aplicar L’Hospital no limite:
Para isso, vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador. Temos:
Já no denominador, teremos que aplicar a regra do produto no segundo termo, ou seja:
Daí, vamos ter:
Daí, voltando para o L’Hospital, temos:
Agora sim...Quando , como já vimos:
Daí, substituindo, vamos ter:
Portanto:
Prontinho pessoal!
Obrigado pela atenção e até aproxima 😉