UFRJ, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de C1 - Profº Jair - Primeira Edição V1.3, Questão 4.2.3e
Calcule os limites abaixo, usando as regras de L’Hospital.
Passo 1
Fala aí genteee!
Nessa questão precisamos calcular o limite:
usando a regra de L’Hospital. Vocês estão lembrados dessa regrinha?
Bora dar uma revisada!
Basicamente, sempre que queremos calcular o limite de uma fração em que:
Numerador e denominador tendem a zero ;
Numerador e denominador tendem a infinito ;
O limite dessa fração será igual ao limite da fração composta pela derivada do numerador e pela derivada do denominador.
Ou seja, se estamos calculando:
E, verificamos que se encaixa em um dos dois casos acima, podemos usar a regra de L’Hospital para escrever que:
E aí, pegaram a ideia?
Então, vamos verificar se esse limite se encaixa nas condições para uso da regra de L’Hospital, e vamos usá-la em seguida.
Vamo nessa!
Passo 2
Bom, substituindo o valor que está tendendo dentro do limite vamos ter:
Oopa, temos algo do tipo . Então, vamos derivar o numerador e o denominador.
Começando pelo numerador:
Derivando o denominador:
Daí, voltando para o limite temos:
Substituindo o número que está tendendo, vamos ter:
Puts, mais uma vez. Então, vamos aplicar L’Hospital mais uma vez...
Derivando o numerador, vem que:
Derivando agora o denominador, vem:
Daí, voltando para o limite, temos:
Se usarmos que:
E, que:
Vem que:
Daí, substituindo o valor que está tendendo, chegamos que:
Aeeee! Conseguimos pessoal!
Obrigado pela atenção e até a próxima!