Calcule os seguintes limites.

lim x → 0 + ⁡ x x 2

Passo 1

Primeiro vamos manipular a função aplicado ao limite. Temos que :

y = x x 2

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação, obtemos:

ln ⁡ y = ln ⁡ x x 2 ⇒ ln ⁡ y = x 2 ln ⁡ x

Assim, o limite agora pode ser expresso como:

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y = lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x

Passo 2

Podemos reescrever a função de modo a ser possível aplicar a Regra de l’Hôspital da seguinte maneira:

lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ x 2 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 2

Passo 3

Aplicando a Regra de l’Hôspital :

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 2 = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 2 x - 3   = lim x → 0 + ⁡ - 1 x x 3 2 = - x 2 2 = 0  

Lembre-se que essa regra só pode ser aplicada em casos de indeterminações do tipo 0 0 e sua aplicação se resumi em derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Retomando a nossa função inicial e aplicando o resultado obtido ( lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y = 0 )   , temos que

lim x → 0 + ⁡ x x 2 = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ y = 0

Aplicando a exponencial, obtemos:

lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ y   = e 0 = 1

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)