Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

Ver Teoria
Exercício 168123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

5. Considere a expressão

lim x → 0 ⁡ x 5 + a x 3 tan ⁡ x - sin ⁡ x = 20

Qual o valor de a para que esta expressão esteja correta?

  0       5       10       - 5       - 10     2     - 2       4       - 4

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos a seguinte igualdade

lim x → 0 ⁡ x 5 + a x 3 tan ⁡ x - sin ⁡ x = 20

E precisamos descobrir quem é a .

De inicio, vamos ignorar aquele 20 e tentar resolver o problema normalmente:

lim x → 0 ⁡ x 5 + a x 3 tan ⁡ x - sin ⁡ x = 0 + 0 0 + 0

Repara que caímos em uma indeterminação do tipo 0 / 0 . Então bora aplicar L’Hopital e sair dessa interminação!

Passo 2

Aplicando L’Hospital, temos que derivar em cima e embaixo a nossa função.

Derivando o numerador,

y = x 5 + a x 3 → y ' = 5 x 4 + 3 a x 2

Agora vamos derivar o denominador

y = tan ⁡ x + sin ⁡ x → y ' = sec 2 ⁡ x + cos ⁡ x

Com isso temos que,

lim x → 0 ⁡ x 5 + a x 3 tan ⁡ x - sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 5 x 4 + 3 a x 2 sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x

Calculando o limite

lim x → 0 ⁡ 5 x 4 + 3 a x 2 sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x = 0 + 0 0 - 0

Mesma indeterminação! Então vamos aplicar L’Hospital de novo!

Passo 3

Derivando,

y = 5 x 4 + 3 a x 2 → y ' = 20 x 3 + 6 a x

Agora vamos derivar a parte de baixo:

y = sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x → y ' = 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sin ⁡ x

Vamos montar o nosso limite,

lim x → 0 ⁡ 5 x 4 + 3 a x 2 sec 2 ⁡ x - cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 20 x 3 + 6 a x 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sin ⁡ x = 0 0

Galerinha, é isso mesmo: vamos aplicar L’Hospital mais uma vez!

Passo 4

Derivando,

y = 20 x 3 + 6 a x → y ' = 60 x 2 + 6 a

Agora vamos derivar a parte de baixo:

y = 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sin ⁡ x → y ' = - 4 sec 2 ⁡ x + 6 sec 4 ⁡ x + cos ⁡ x

Vamos montar o nosso limite,

lim x → 0 ⁡ 20 x 3 + 6 a x 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x + sin ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 60 x 2 + 6 a - 4 sec 2 ⁡ x + 6 sec 4 ⁡ x + cos ⁡ x

Calculando o limite,

lim x → 0 ⁡ 60 x 2 + 6 a - 4 sec 2 ⁡ x + 6 sec 4 ⁡ x + cos ⁡ x = 6 a 3 = 2 a

Opaaa, estamos quase no final!

Passo 5

Agora vamos resgatar a expressão inicial,

lim x → 0 ⁡ x 5 + a x 3 tan ⁡ x - sin ⁡ x = 20

E vimos também que esse limite é igual a 2 a . Logo,

2 a = 20

a = 10

Prontinho!

Resposta

10

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim θ → π / 2⁡ 1 - s e n ( θ
Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)