UFU, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profª Sonia Berrios - Lista 2 - Limites, Continuidade e Derivadas, Questão 36f
Encontre o limite, se existir.
f)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função quando tende a infinito. Pra nos ajudar, vamos escrever essa função na forma exponencial:
A gente pode fazer isso porque o ln é a função inversa de , então não altera em nada nossa função. Assim, usando as propriedades de logaritmo, nosso limite vai ficar:
Assim, nós podemos aplicar a propriedade do limite da exponencial, que é dada por:
Então, se ambos os limites são finitos, temos que . E aí nos resta calcular apenas o limite da função no expoente, que no caso será:
Vamos lá!
Passo 2
Observando o limite do expoente que nós precisamos calcular, nós vamos notar que se a gente substituir na função, vamos ter uma indeterminação do tipo . E quando a gente tem uma indeterminação desse tipo,podemos pensar em aplicar a regra de L’Hospital para fugir da indeterminação.
Assim, vamos começar derivando numerador e denominador, separadamente, de acordo com a regra de L’Hospital:
Fazendo a divisão de frações:
Agora a gente não tem mais a indeterminação , porque o numerador é uma constante. Então, a gente tem que avaliar o limite pensando na divisão de um número constante por um número infinitamente grande. O resultado vai se aproximando de zero, certo? Por isso, nós temos:
Substituindo esse resultado no limite da exponencial, como vimos no passo , temos:
E encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉