UERJ, Sem Campus, Cálculo I, Listas de C1 - Profº Raphael Constant - Lista 7 - Esboço de gráficos e Regra de L'Hôpital, Questão 5p
Utilizando a Regra de L’Hospital, determine os seguintes limites:
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Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente calcular o limite lateral da função , quando tende a zero pela direita, usando a regra de L’Hospital.
Pra isso, a gente precisa lembrar que a regra de L’Hospital existe para nos salvar das indeterminações do tipo e . Assim, quando a gente tem um quociente com indeterminação, nós derivamos numerador e denominador separadamente e depois aplicamos o limite.
Lembrando também que a gente aplicar a regra de L’Hospital quantas vezes forem necessárias pra fugir da indeterminação. E que quando temos um produto, também podemos transformar ele em quociente para aplicar a regra.
Vamos lá!
Passo 2
Nosso limite é dado por:
Temos uma indeterminação . Então, vamos começar reescrevendo o limite na forma:
Assim, usando as propriedades de logaritmos, temos:
E usando as propriedades dos limites, podemos colocar esse limite no expoente, já que é sempre constante. Assim:
Dessa forma, vamos avaliar apenas e depois substituir na função.
Passo 3
Pra calcular o limite acima, vamos começar reescrevendo esse produto como um quociente na forma:
Agora vamos aplicar a regra de L’Hospital, derivamos em cima e embaixo para fugir da indeterminação. Temos:
Fazendo a divisão de frações:
Agora, pra ficar mais fácil de visualizar, a gente pode separar o limite do quociente no quociente dos limites:
Daí nós temos o limite da constante no numerador, que é a própria constante. E no limite do denominador, nossa função vai para infinito.
E quando temos uma constante dividida por um número infinitamente grande, o resultado dessa divisão é zero. Portanto:
Só falta a gente substituir esse resultado na expressão que encontramos no passo anterior:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉