Enunciado

Se u → = 4 , v → = 2 e 120 ° o ângulo entre os vetores u → e v → , determinar o ângulo entre u → + v → e u → - v → e construir uma figura correspondente a esses dados.

Passo 1

Então galera, antes de qualquer coisa vamos esboçar esses dois vetores, assim como o ângulo formado entre eles, se liga:

Show! Queremos encontrar o ângulo entre u → + v → e u → - v → , certo? Geometricamente, essas duas somas ficaria assim:

Então o que queremos encontrar é esse bendito ângulo θ aí! Bora que bora!

Passo 2

de acordo com o que estudamos no capítulo em questão do Winterle, temos que o produto escalar entre dois vetores é dado da seguinte forma:

u → ∙ v → = u → ∙ v → cos ⁡ θ

No qual cos ⁡ θ é o ângulo entre os dois vetores. No nosso caso, nossos vetores são u → + v → e u → - v → , logo:

cos ⁡ θ = u → + v → ∙ u → - v → u → + v → ∙ u → - v →

Para o numerador, teremos:

u → + v → ∙ u → - v → = u → 2 - v → 2

Como u → = 4 e v → = 2 , então:

u → + v → ∙ u → - v → = 4 2 - 2 2 = 12

Ok, a primeira parte foi feita!

Passo 3

Agora para o denominador temos que calcular dois módulos, certo? O primeiro é u → + v → , então:

u → + v → 2 = u → + v → . u → + v →

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 . u → . v →

u → + v → 2 = u → 2 + v → 2 + 2 . u → . v → . cos ⁡ 120 °

Substituindo os valores:

u → + v → 2 = 20 + 2.4 . 2 . - 1 2 = 12

Analogamente, para u → - v → teremos:

u → - v → 2 = u → 2 + v → 2 - 2 . u → . v → . cos ⁡ 120 °

Substituindo os valores:

u → - v → 2 = 20 + 2.4 . 2 2 = 28

Voltando para a expressão do ângulo entre os vetores, teremos:

cos ⁡ θ = 12 12 . 28 = 21 7

∴ θ ≈ 49 °

Resposta

θ ≈ 49 °

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