Lista de Exercícios Resolvidos de Produto Escalar ou Interno

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Determinar o vetor v → ortogonal ao vetor u → = ( 2 ,   - 3 ,   - 12 ) e colinear ao vetor w → = ( - 6 ,   4 ,   - 2 ) .

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Calcular o módulo dos vetores u → + v → e u → - v → , sabendo que u → = 4 ,   v → = 3 e o ângulo entre u → e v → é de 60 ° .

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Sejam os pontos A 1,2 , - 1 ,   B - 1,0 , - 1 e C 2,1 , 2 . Pede-se:

  1. Mostrar que o triangulo A B C é retângulo em A .
  2. Calcular a medida da projeção do cateto B A sobre a hipotenusa B C .
  3. Determinar o pé da altura do triangulo relativa ao vértice A .

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Mostre que

  1. | u → + v → | 2 = | u → | 2 + 2 u → ∙ v → + | v → | 2
  2. u → ∙ v → = 1 2 ( | u → + v → | 2 - | u → | 2 - | v → | 2 )

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Calcular o ângulo entre os vetores u → = ( 1 ,   1 ,   4 ) e v → = - 1 ,   2 ,   2 .

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Ache u → tal que u → = 3 √ 3 e u → é ortogonal a v → = ( 2 ,   3 ,   - 1 ) e a w → = ( 2 ,   - 4 ,   6 ) . Dos “ u → ”s encontrados, qual o que forma ângulo agudo com o vetor ( 1 ,   0 ,   0 ) ?

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Dados os vetores u → = 4 ,   α ,   - 1 e v → = ( α ,   2 ,   3 ) e os pontos A ( 4 ,   - 1 ,   2 ) e B ( 3 ,   2 ,   - 1 ) , determinar o valor de α tal que u → ∙ v → + B A → = 5 .

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Determine o valor do produto interno entre os vetores v → = ( 1,0 , 1 ) e u → = ( 2,1 , 0 ) .

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Determinar um vetor ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   0 ,   1 ) .

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Sabendo que o vetor v → = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) forma um ângulo de 60 ° com o vetor A B → determinado pelos pontos A ( 3 ,   1 ,   - 2 ) e B ( 4 ,   0 ,   m ) , calcular m .

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Mostrar que se u → e v → são vetores, tal que u → + v → é ortogonal a u → - v → , então u → = | v → | .

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Determinar o vetor v → , paralelo ao vetor u → = ( 1 ,   - 1 ,   2 ) , tal que v → ∙ u → = - 18 .

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(c) Se u   e   v são vetores de R n , então u + v 2 + u - v 2 = 2   (   u 2 +   v 2   ) .

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A questão 4 c da P 1 era: “Sejam v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3   vetores de R n . Suponha que v 1 ,   v 2 ,   v 3 são vetores linearmente independentes e que v ∉ 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 . Os vetores v ,   v 1 ,   v 2 ,   v 3 são linearmente independentes? Justifique.” A resposta do Joãozinho foi:

a   Escreva a definição de 〈 v 1 ,   v 2 ,   v 3 〉 .

b   Qual hipótese do enunciado da questão 4 c o Joãozinho não usou? Dê um exemplo onde, sem essa hipótese v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente dependentes

c   Escreva uma demonstração correta e completa que os vetores v 1 ,   v 2 ,   v 3 ,   v são linearmente independentes começando por:

“Sejam escalares α ,   α 1 ,   α 2 ,   α 3 tais que α v + α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = 0

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Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(b) Se u ,   v e w são vetores não nulos e tais que u   ·   v   =   u   ·   w , então v   =   w .

(c) Se u e v são vetores tais que u   ·   v   =   0 , então u   =   0 ou v   =   0 .

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Considere o produto interno usual de R4 e sejam u = ( 1 ,   0 ,   1 ,   - 1 ) e v = ( 2 ,   1 ,   1 ,   1 ) . Calcule a distância de u a v.

(a) 1

(b) 6

(c) 6

(d) −1

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