Enunciado

15. (a) Prove a parte (b) do Teorema 9.5.1 mostrando primeiro que l i n A T A é um subespaço de l i n A .

(b) Prove a parte (c) do Teorema 9.5.1 usando a parte (b).

Passo 1

Bem... vamos usar aqui o teorema (que tem em capítulos anteriores) da dimensão para transformações linear. E que também é super chamado de teorme do núcleo e imagem.

p o s T + n u l T = n

Em outra palavras: a nulidade + o posto da matriz é igual ao número de colunas.

Como têm o mesmo número de colunas, então:

p o s A + n u l A = p o s A T A + n u l A T A

Como foi provado na parte (a) que:

n u l A = n u l A T A

Então...

p o s A = p o s A T A

Como queríamos demonstrar.

Resposta

p o s A = p o s A T A

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Em cada parte, encontre o domínio e o contradomínio da transformação T a x = A x aA tem tamanho 3 × 2 bA tem tamanho 2 × 3 cA tem tamanho 3 × 3 dA tem tamanho 1 × 6
Em cada parte, encontra o domínio e o contradomínio da transformação definida pelas equações e determine se a transformação é linear. aw 1 = 3 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 w 2 = 5 x 1 - 8 x 2 + x 3 b w 1 = 2 x
Sejam F , G ∈ LR 3 assim definidos: F ( x ,y ,z )=( x+y ,z+y ,z ) e G ( x ,y ,z )=( x+2 y ,y-z ,x+2 z ) Determinar:a) F ∙ G ; b )K e r ( F ∙ G ) e I m( G ∙ F ) . c) uma base e a dimensão de K e r F 2
Sejam F , G ∈ LR 3 assim definidos: F ( x ,y ,z )=( x+y ,z+y ,z ) e G ( x ,y ,z )=( x+2 y ,y-z ,x+2 z ) Determinar:a) F ∙ G ; b )K e r ( F ∙ G ) e I m( G ∙ F ) . c) uma base e a dimensão de K e r F 2
Sejam F , G ∈ LR 3 assim definidos: F ( x ,y ,z )=( x+y ,z+y ,z ) e G ( x ,y ,z )=( x+2 y ,y-z ,x+2 z ) Determinar:a) F ∙ G ; b )K e r ( F ∙ G ) e I m( G ∙ F ) . c) uma base e a dimensão de K e r F 2