Enunciado

16. Sejam T : R n → R n uma transformação linear cuja matriz canônica A tem uma decomposição em valores singulares A = U Σ V T e B = v 1 , v 2 , … , v n e B ' = u 1 , u 2 , … , u m os vetores coluna de V e U , respectivamente. Mostre que Σ = T B ' , B .

Passo 1

Bem... vamos usar aqui o teorema (que tem em capítulos anteriores) da dimensão para transformações linear. E que também é super chamado de teorme do núcleo e imagem.

p o s T + n u l T = n

Em outra palavras: a nulidade + o posto da matriz é igual ao número de colunas.

Como têm o mesmo número de colunas, então:

p o s A + n u l A = p o s A T A + n u l A T A

Como foi provado na parte (a) que:

n u l A = n u l A T A

Então...

p o s A = p o s A T A

Como queríamos demonstrar.

Resposta

p o s A = p o s A T A

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