Enunciado

16. Em cada parte, encontre uma base do complemento ortogonal do subespaço de R n gerado pelos vetores dados.

(a) v 1 = ( 1 , - 1,3 ) , v 2 = ( 5 , - 4 , - 4 ) , v 3 = 7 , - 6,2

(b) v 1 = ( 2,0 , - 1 ) , v 2 = ( 4,0 , - 2 )

(c) v 1 = ( 1,4 , 5,2 ) , v 2 = ( 2,1 , 3,0 ) , v 3 = - 1,3 , 2,2

(d) v 1 = 1,4 , 5,6 , 9 , v 2 = 3 , - 2 , 1,4 , - 1 , v 3 = - 1,0 , - 1 , - 2 , - 1 , v 4 = 2,3 , 5,7 , 8

Passo 1

(a) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: x , y , z e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:

x , y , z ⋅ 1 , - 1,3 = 0

x - y + 3 z = 0

x , y , z ⋅ 5 , - 4 , - 4 = 0

5 x - 4 y - 4 z = 0

x , y , z ⋅ 7 , - 6,2 = 0

7 x - 6 y + 2 z = 0

Agora vamos resolver o sisteminha:

x - y + 3 z = 0 5 x - 4 y - 4 z = 0 7 x - 6 y + 2 z = 0

Como não tem nada muito óbvio, então vamos escalonar:

Fazendo a (linha 2)=(linha 2)-5(linha 1) e (linha 3)=(linha 3)-7(linha 1):

x - y + 3 z = 0 0 x + y - 19 z = 0 0 x - 6 y + 2 z = 0

Fazendo a (linha 3)=(linha 3)-6(linha 2)

x - y + 3 z = 0 0 x + y - 19 z = 0 0 x + 0 y + 2 z = 0

Agora é só resolver:

2 z = 0

z = 0

y - 19 z = 0

y = 0

x - y + 3 z = 0

x = 0

Então a base do complemento ortogonal é:

W ⊥ = 0,0 , 0

Passo 2

(b) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: x , y , z e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:

x , y , z ⋅ 2,0 , - 1 = 0

2 x - z = 0

x , y , z ⋅ ( 4,0 , - 2 )

4 x - 2 z = 0

Resolvendo o sisteminha:

2 x - z = 0 4 x - 2 z = 0

Fazendo a (linha 2)=(linha 2)-2(linha1)...

Xiiii... deu ruim porque não dá pra achar, maaaas... super dava pra ver isso no início... porque os dois vetores são proporcionais... então eles são paralelos

Ficamos, então, com:

2 x - z = 0

Podemos isolar o z:

z = 2 x

Ficando com : x , 0,2 x = x 1,0 , 2 .

Então a base do complemento ortogonal é:

W ⊥ = 1,0 , 2

Passo 3

(c) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: x , y , z , k e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:

x , y , z , k ⋅ ( 1,4 , 5,2 ) = 0

x + 4 y + 5 z + 2 k = 0

x , y , z , k ⋅ ( 2,1 , 3,0 ) = 0

2 x + y + 3 z = 0

x , y , z , k ⋅ - 1,3 , 2,2 = 0

- x + 3 y + 2 z + 2 k = 0

Agora vamos resolver o sisteminha (escalonando):

x + 4 y + 5 z + 2 k = 0 2 x + y + 3 z = 0 - x + 3 y + 2 z + 2 k = 0

Fazendo (linha 2)=(linha 2)-2(linha 1) e (linha 3)=(linha 3)+(linha 1):

x + 4 y + 5 z + 2 k = 0 0 x - 7 y - 7 z - 2 k = 0 0 x + 7 y + 7 z + 4 k = 0

Fazendo (linha 3)=(linha 3)+(linha(2):

x + 4 y + 5 z + 2 k = 0 0 x - 7 y - 7 z - 2 k = 0 0 x + 0 y + 0 z + 2 k = 0

Então:

2 k = 0

k = 0

- 7 y - 7 z - 2 ( 0 ) = 0

z = - y

x + 4 y + 5 - y + 2 0 = 0

x = y

Ficamos, então com: y , y , - y , 0 = y 1,1 , - 1,0

Então a base do complemento ortogonal é:

W ⊥ = 1 , 1 , - 1,0

Passo 4

(c) Vamos primeiro representar um vetor qualquer: x , y , z , k , l e fazer que o produto interno dele com cada um dos vetores seja zero:

x , y , z , k , l ⋅ ( 1,4 , 5,6 , 9 ) = 0

x + 4 y + 5 z + 6 k + 9 l = 0

x , y , z , k , l ⋅ ( 3 , - 2 , 1,4 , - 1 ) = 0

3 x - 2 y + z + 4 k - 1 l = 0

x , y , z , k , l ⋅ - 1,0 , - 1 , - 2 , - 1 = 0

- x + 0 y - z + - 2 k - l = 0

x , y , z , k , l ⋅ 2,3 , 5,7 , 8 = 0

2 x + 3 y + 5 z + 7 k + 8 l = 0

Agora vamos resolver o sisteminha (escalonando):

x + 4 y + 5 z + 6 k + 9 l = 0 3 x - 2 y + z + 4 k - 1 l = 0 - x + 0 y - z - 2 k - l = 0 2 x + 3 y + 5 z + 7 k + 8 l = 0

Fazendo (linha 2)=(linha 2)-3(linha 1), linha (3)=linha(3)+linha(1) e (linha 4)=(linha 4)-2(linha 1):

x + 4 y + 5 z + 6 k + 9 l = 0 0 x - 14 y - 14 z - 14 k - 2 8 l = 0 0 x + 4 y + 4 z + 4 k + 8 l = 0 0 x - 5 y - 5 z - 5 k - 10 l = 0

Fazendo (linha 3)=(linha 3)... CALMA CALMA CALMA...

Nem vai dar pra continuar... repare que as 3 ultimas equações são todas “a mesma coisa”:

y + z + k + 2 l = 0

y = - z - k - 2 l

Substituindo na primeira equação:

x + 4 - z - k - 2 l + 5 z + 6 k + 9 l = 0

x - 4 z - 4 k - 8 l + 5 z + 6 k + 9 l = 0

x + z + 2 k + l = 0               ( * )

Então a base do complemento ortogonal é:

W ⊥ = 1 , 0 , 1,2 , 1

(ps: aqui tem mais de uma resposta correta... vai depender de qual variável você isolar em (*).

Resposta

(a) W ⊥ = 0,0 , 0

(b) W ⊥ = 1,0 , 2

(c) W ⊥ = 1,1 , - 1,0

(d) W ⊥ = 1,0 , 1,2 , 1

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