Enunciado

24. Calcular a área do triângulo A B C e a altura relativa do lado B C , dado que:

a) A - 4,1 , 1 ,   B 1,0 , 1 e C 0 , - 1,3 ;

b) A 4,2 , 1 ,   B 1,0 , 1 e C 1,2 , 0

Passo 1

(a) Bem... Como nós temos três pontos... Veja na figurinha que é meramente ilustrativa.

Desenhamos um paralelogramo, pois “a área do paralelogramo formado determinado pelos vetores B A → e B C → é NUMERICAMENTE igual ao comprimento do vetor B A → × B C → ”.

Então, fazendo o módulo de B A → × B C → , encontramos a área do paralelogramo.

Repare, também, na linha vermelha que eu fiz... Então a área do triângulo vai ser:

A Δ = 1 2 B A → × B C →

E lembrando aqui rapidinho que o produto vetorial de dois vetores u = x 1 , y 1 , z 1 e v = x 2 , y 2 , z 2 .

u × v = i ^ j ^ k ^ x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

Passo 2

Vamos começar, então, calculando cada vetor:

B A → = A - B

B A → = - 4,1 , 1 - 1,0 , 1

B A → = - 5 , 1 , 0

B C → = C - B

B C → = 0 , - 1,3 - 1,0 , 1

B C → = ( - 1 , - 1,2 )

Passo 3

Agora vamos fazer o produto vetorial:

B A → × B C → = i ^ j ^ k ^ - 5 1 0 - 1 - 1 2

Resolvendo o determinante:

B A → × B C → = 1 2 i ^ + 0 - 1 j ^ + - 5 - 1 k ^ - - 1 1 k ^ - - 1 0 i ^ - 2 - 5 j ^

B A → × B C → = 2 i ^ + 10 j ^ + 6 k ^

Calculando o módulo:

B A → × B C → = 2 2 + 10 2 + 6 2

B A → × B C → = 2 35

Então a área do triângulo:

A Δ = 1 2 2 35

A Δ = 35

Passo 4

Agora vamos calcular a altura relativa ao lado B C .. Lembra que a área de um triângulo é:

A Δ = b a s e × a l t u r a 2

A área a gente já calculou no passo anterior, a altura é o que a gente quer achar e a base é o lado B C , né...

Então podemos calcular o módulo de B C → ...

  B C → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2

  B C → = 6  

Então podemos achar a altura:

A Δ =   B C → × h 2

h = 2 35 6

Resposta

A Δ = 35

h = 2 35 6

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Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .
Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a i + j + k quanto a 2 i + k .
Se a = i - 2 k e b = j + k , determine a × b . Esboce a , b e a × b como vetores com início na origem.
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b . a = 6,0 , - 2 , b = 0,8 , 0