1.

Calcular a área do triângulo de vértices A 1 ,   - 2 ,   1 ,   B 2 ,   - 1 ,   4   e   C - 1 ,   - 3 ,   3 .

Resolução
2.

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

  1. j → × 2 i →
  2. 3 i → × 2 k →
Resolução
3.

Sabendo que   a → = 3 ,       b → = 2 e 45 ° é o ângulo entre a → e   b → , calcular |   a → ×   b → | .

Resolução
4.

Calcule u → × v → sendo u → = 1 ,   2 ,   3 ,   v → = ( - 1 ,   1 ,   2 ) (referidos a uma base ortonormal positiva ( i → ,   j → ,   k → ) ).

Resolução
5.

Dados os vetores u → = 1 ,   2 ,   - 1   e     v → = 0 ,   - 1 ,   3 , calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores   3 u →     e       v → -   u → .

Resolução
6.

Determinar o valor de m para que o vetor w → = 1 ,   2 ,   m seja simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 2 ,   - 1 ,   0 ) e v 2 → = ( 1 ,   - 3 ,   - 1 ) .

Resolução
7.

Prove que se   u → ∙   v → = 0 e u → ×   v → =   0 → então   u → =   0 → ou v → =   0 → . Interprete geometricamente.

Resolução
8.

Calcular x , sabendo que A x ,   1 ,   1 ,   B 1 ,   - 1 ,   0     e     C 2 ,   1 ,   - 1 são vértices de um triângulo de área 29 2 .

Resolução
9.

Sejam os vetores u → = 3 ,   1 ,   - 1   e     v → = a ,   0 ,   2 . Calcular o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u →     e     v →   seja igual a 2 6 .

Resolução
10.

Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores v 1 → = ( 1 ,   1 ,   0 ) e v 2 → = ( 2 ,   - 1 ,   3 ) . Nas mesmas condições, determine um vetor de módulo 5.

Resolução
11.

Seja A B C um triângulo de área 490 11 . Sejam M , N e P pontos tais que A M → = 2 7 A B → , B N → = 1 7 B C → e A P → = 3 7 A C → . Calcule a área do triângulo M N P .

Resolução
12.

Assinale a área do paralelogramo definido pelos pontos ( 0 ,   1 ,   0 ) , ( 2 ,   2 ,   0 ) , ( 1 ,   2 ,   1 ) e ( 3 ,   3 ,   1 ) :

a) 6

b) 5

c) 7

d) 8

e) Não sei

Resolução
13.

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

(d) Se u   =   ( 1 ,   0 ,   0 ) e v   =   ( a ,   1 ,   0 ) , então a área do paralelogramo formado por u e v é igual a   1 seja qual for o valor de   a .

(e) Se u , v e w são vetores não nulos de R 3 e tais que u   ×   v   =   u   ×   w , então v   =   w .

Resolução
14.

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba um contraexemplo.

c) Se u   e v   são vetores não nulos e com a mesma direção, então u + v 2 = u 2 + v 2 .

d) Se u   e v   são vetores do R 3 ortogonais e de mesmo módulo, então u × v = u ∙ u .

Resolução
15.

Considere os pontos

A = 1,0 , 1 ,   B = 1,2 , 3 ,   C = 2,1 , 1 ,   D = ( 1,3 , 2 )

e os vetores:

v = A B → ,   w = A C →

(d) Determine pontos diferentes E 1 ,   E 2 e E 3 tais que os pontos:

  • A, B, C e E 1 determinem um paralelogramo Π 1
  • A, B, C e E 2 determinem um paralelogramo Π 2
  • A, B, C e E 3 determinem um paralelogramo Π 3

(e) Determine as áreas destes três paralelogramos.

Resolução
16.

Considere que em relação a uma base ortonormal A B → = ( 1 ,   2 ,   1 ) e A C → = ( 2 ,   1 ,   2 ) .

  1. Determine a área do triângulo Δ A B C .
  2. Determine a altura relativa ao lado B C do triângulo Δ A B C .
Resolução
17.

Sejam u → e v → vetores quaisquer. Seja w → = ( u → + v → ) ∧ ( u → - v → ) . Mostre que w → = 2 v → ∧ u → .

Resolução
18.

Dados os pontos O = ( 0 ,   0 ,   0 ) , A = ( 2 ,   2 ,   1 ) e B = ( - 1 ,   0 ,   1 ) , vértices de um triângulo. Determine o comprimento da altura relativa ao vértice O e calcule a área do triângulo O A B .

Resolução
19.

Considere os vetores de R 3

v 1 = 1 ,   2 ,   0                                 v 2 = ( 0 ,   2 ,   1 )

c) Determine, se possível, um vetor u cujo módulo seja 5 e que seja perpendicular aos vetores v 1 e v 2 (isto é, v 1 . u = 0 = v 2 . u ).

Resolução
20.

a) Determine um ponto D para que os pontos

O = 0 ,   0 ,   0                             A = 1 ,   2 ,   0                             B = ( 0 ,   2 ,   1 )

e D determinem um paralelogramo P de R 3 . Calcule a área do paralelogramo P .

Resolução
21.

Considere os vetores de R 3

v 1 = 1 ,   2 ,   0                                 v 2 = ( 0 ,   2 ,   1 )

b) Determine, se possível, um vetor w tal que

v 1 × w = 2 ,   - 1 ,   1                           v 2 × w = ( - 1 ,   1 ,   - 2 )

Resolução

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