Enunciado

Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:

P (1 , 2 , 3) r : e i x o O z

Passo 1

Temos que a reta r é o eixo O z , logo, é uma reta que passa pelo origem e tem vetor diretor vec k = ( 0 , 0 , 1 ) , sua equação vetorial é, portanto:

r : X = (0 , 0 , 0) + t . ( 0 , 0 , 1 )

Passo 2

Para encontrarmos a distância de P até r , primeiro precisamos de um ponto genérico de r , que de acordo com sua equação vetorial, pode ser dado por

Q = ( 0 , 0 , t )

O primeiro passo é encontrarmos um valor para o parâmetro t tal que vec P Q seja perpendicular ao vetor diretor de r , que é ( 0 , 0 , 1 ) , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0!! Sabendo que

vec P Q = Q - P = ( - 1 , - 2 , t - 3 )

Temos:

vec P Q . vec k = 0

(- 1 , - 2 , t - 3) . (0 , 0 , 1) = 0

t - 3 = 0

t = 3

Então, se o t que satisfaz nossas condições é t = 3 , vamos substituir esse valor no ponto Q , e aí temos

Q = ( 0 , 0 , t )

Q = (0 , 0 , 3)

Passo 3

Agora, pra finalizar, é só encontrarmos a distância entre P = ( 1 , 2 , 3 ) e Q = (0 , 0 , 3) :D Usando a fórmula de distância entre pontos:

d (P , Q) = sqrt((1 - 0)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 3)^2)

d (P , Q) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)

E essa é a distância entre P e r :P

Resposta

sqrt(5)

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