Enunciado

1. Achar a solução geral de cada um das seguintes equações:

a) y ' ' + y ' - 6 y = 0

b) D 2 + 2 D - 15 y = 0

c) D 3 + D 2 - 2 D y = 0

d) D 3 + 2 D 2 - 5 D - 6 y = 0

e) D 4 - 6 D 3 + 12 D 2 - 8 D y = 0

f) D 2 + 6 D + 9 y = 0

g) D 2 - 10 D + 25 y = 0

h) D 2 - 4 D + 13 y = 0

i) D 2 + ω 2 y = 0   ω ∈ R

j) D 3 - D 2 + 9 D - 9 y = 0

Passo 1

d) A primeira coisa que vamos fazer é achar as raízes do polinômio característico, né?

r 3 + 2 r 2 - 5 r - 6 = 0

Aqui é um pouco mais complicado... nós temos candidatos a serem raízes do polinômio, que são os divisores de -6, temos: ± 1 , ± 2 , ± 3 e ± 6 . Pode só ir substituindo os valores e ver qual que vai zerar a equação...

As raízes, então:

r 1 = - 2

r 2 = 0

r 3 = 1

Passo 2

Como temos três raízes reais e distintas, então a solução geral fica com a cara:

y t = k 1 e r 1 t + k 2 e r 2 t + k 3 e r 3 t

Substituindo as raízes, a solução geral fica:

y t = k 1 e - 2 t + k 2 e 0 t + k 3 e 1 t

y t = k 1 e - 2 t + k 2 + k 3 e t

Resposta

y t = k 1 e - 2 t + k 2 + k 3 e t

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