Enunciado

Em cada um dos problemas 1 a 10, determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico

9 x 2 - 16 y 2 = 144

Passo 1

Para questões de equações de elipse, vamos começar explicitando o que é o que.

  • A equação não está na forma x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1 onde x c ,   y c são as coordenadas do centro. Portanto, devemos achar uma maneira de deixar nessa forma.
  • O semi-eixo menor é dado c 2 = a 2 + b 2
  • A excentricidade é dada por e = c a .
  • As assíntotas são dadas pela equação y = ± b a x
  • Os vértices são dados pelas equações A 1 = ( x c - a ,   y c ) e A 2 = x c + a ,   y c
  • Os focos são dados por F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

Explicitando os fatores, vamos começar e encontra-los.

Passo 2

Analisando a equação 9 x 2 - 16 y 2 = 144 , vamos transformá-la numa equação no formato:

x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1

Para isso, vamos dividir a equação inteira por 144 . Assim, temos:

9 x 2 144 - 16 y 2 144 = 144 144

x 2 144 9 - y 2 144 16 = 1

x 2 16 - y 2 9 = 1

Passo 3

Analisando a equação x 2 16 - y 2 9 = 1 , temos que, se x - x c 2 a 2 - y - y c 2 b 2 = 1 .

x c ,   y c = ( 0 ,   0 )

a 2 = 16         ∴           a = 4

b 2 = 9           ∴             b = 3

Passo 4

Achando os fatores a e b , vamos jogar na equação c 2 = a 2 + b 2 para encontrarmos o fator c .

c 2 = a 2 + b 2

c 2 = 16 + 9

c = 25

c = 5

Passo 5

Agora que achamos o fator c , vamos usá-lo para encontrar a excentricidade da elipse.

e = c a

e = 5 4

Passo 6

Agora que todos os parâmetros foram encontrados, vamos encontrar os vértices A 1 e A 2 .

A 1 = ( x c - a ,   y c )

A 1 = ( 0 - 4 ,   0 )

A 1 = ( - 4,0 )

Assim,

A 2 = ( x c + a ,   y c )

A 2 = ( 0 + 4 ,   0 )

A 2 ( 4 ,   0 )

Passo 7

Por fim, nos resta achar os focos antes de esboçar o gráfico. Assim, vamos usar as equações para os focos que explicitamos no Passo 1: F 1 = ( x c - c ,   y c ) e F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 1 = ( x c - c ,   y c )

F 1 = ( 0 - 5 ,   0 )

F 1 = ( - 5 ,   0 )

Assim,

F 2 = ( x c + c ,   y c )

F 2 = ( 0 + 5 ,   0 )

F 2 = ( 5 ,   0 )

Passo 8

Encontrados os pontos, vamos encontrar a equação das assíntotas usando da equação

y = ± b a x .

y 1 = b a x

y 1 = 3 4 x

Assim,

y 2 = - b a x

y 2 = - 3 4 x

Passo 9

Por fim, vamos esboçar o gráfico. Para isso, usamos o Geogebra. Nesse caso, como os focos não são tão simples de serem marcados, vamos plotar o gráfico usando a equação da hipérole x 2 16 - y 2 9 = 1 e as equações das assíntotas:

Pronto, é isso que a questão queria!

Resposta

A 1 - 4,0 ,   A 2 4,0 ,   F 1 - 5 ,   0 ,   F 2 5 ,   0 e e = 5 4

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