Enunciado

Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 0 0 2 0 - 1 0 2 0 0

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar a fórmula que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 0 - λ 0 2 0 - 1 - λ 0 2 0 0 - λ

- λ 0 2 0 - 1 - λ 0 2 0 - λ = 0

Expandindo pela segunda coluna:

- 1 - λ - λ 2 2 - λ = 0

Desenvolvendo:

- 1 - λ λ 2 - 4 = 0

- 1 - λ ( λ + 2 ) ( λ - 2 ) = 0

Então encontramos os três valores próprios:

λ 1 = - 2 ,   λ 2 = - 1 ,   λ 3 = 2

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Substituindo λ = - 2 :

A + 2 I v = 0 + 2 0 2 0 - 1 + 2 0 2 0 0 + 2 x y z = 0 0 0

2 0 2 0 1 0 2 0 2 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter um sisteminha:

2 x + 2 z = 0 → x = - z y = 0

Assim, o vetor próprio de λ = - 2 é v = ( - z ,   0 ,   z ) .

Passo 4

Agora pra λ = - 1 :

A + I v = 0 + 1 0 2 0 - 1 + 1 0 2 0 0 + 1 x y z = 0 0 0

1 0 2 0 0 0 2 0 1 x y z = 0 0 0

Isso nos dá um sistema:

x + 2 z = 0 2 x + z = 0

Daqui, encontramos x = z = 0 , e o y fica livre. Então, o vetor próprio de λ = - 1 é v = ( 0 ,   y ,   0 ) .

Passo 5

Falta só λ = 2 :

A - 2 I v = 0 - 2 0 2 0 - 1 - 2 0 2 0 0 - 2 x y z = 0 0 0

- 2 0 2 0 - 3 0 2 0 - 2 x y z = 0 0 0

Isso nos dá um sistema:

2 x - 2 z = 0 - 3 y = 0

Daqui, encontramos y = 0 e o x = z . Então, o vetor próprio de λ = 2 é v = ( z ,   0 ,   z ) .

Resposta

λ = - 2 :   v = - z ,   0 , z

λ = - 1 : v = 0 ,   y ,   0

λ = 2 : v = ( z ,   0 ,   z )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que v ∈ V seja autovetor de T : V → V e S : V → V , ao mesmo tempo com autovalores λ 1 e λ 2 respectivamente. Ache autovetores e autovalores de S + T S ∘ T
Seja A = 0 2 1 1 .Ache os autovalores de A e de A - 1 .Quais são os autovetores correspondentes?
Seja T : V → V linearSe λ = 0 é autovalor de T , mostre que T não é injetora.A recíproca é verdadeira? Ou seja, se T não é injetora, λ = 0 é autovalor de T ?
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 1 3 - 3 0 4 0 - 3 3 1
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes: A = 1 2 3 0 1 2 0 0 1