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Calcular o valor próprio e o correspondente vetor próprio da seguinte matriz:

A = 1 0 0 1 1 - 2 0 1 - 1

Passo 1

Pra encontrar os valores próprios e os vetores próprios, vamos usar a fórmula que diz que A v = λ v . Arrumando, a equação, vamos obter:

A v = λ v

A - λ I v = 0

det ⁡ A - λ I = 0

Então é isso, pra achar os valores próprios a gente vai encontrar os valores de λ nessa equação. Por fim, a gente usa que M v = λ v de novo, pra encontrar os vetores próprios.

Passo 2

Bora pra conta!

det ⁡ A - λ I = 1 - λ 0 0 1 1 - λ - 2 0 1 - 1 - λ

1 - λ 0 0 1 1 - λ - 2 0 1 - 1 - λ = 0

Expandindo pela primeira linha:

1 - λ 1 - λ - 2 1 - 1 - λ = 0

1 - λ 1 - λ - 1 - λ + 2 = 0

1 - λ λ 2 - 1 + 2 = 0

1 - λ λ 2 + 1 = 0

Do primeiro fato a gente encontra o primeiro autovalor λ = 1 . Beleza! E os outros dois? Pois é, eles vêm de λ 2 + 1 = 0 , que só tem raízes complexas, ou seja, não interessam pra gente!

Passo 3

Agora vamos encontrar os vetores próprios: é só a gente substituir o valor de λ que encontramos na equação A - λ I v = 0 . Substituindo λ = 1 :

A - I v = 1 - 1 0 0 1 1 - 1 - 2 0 1 - 1 - 1 x y z = 0 0 0

0 0 0 1 0 - 2 0 1 - 2 x y z = 0 0 0

Multiplicando, vamos obter:

x - 2 z = 0 y - 2 z = 0

Essas duas equações vão nos dar:

x = 2 z

y = 2 z

Então já encontramos os nossos autovetores! Eles vão ser da forma v = ( 2 z ,   2 z ,   z ) .

Resposta

λ = 1 : v = ( 2 z ,   2 z ,   z )

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