Enunciado

Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas:

T : M 2 → M 2 tal que A → A ' (Isto é, T é a transformação que leva uma matriz na sua transposta.)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

T 1 0       0 0 = 1 0       0 0 = 1 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 0       1 0 = 0 1       0 0 = 0 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 1 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 1       0 0 = 0 0       1 0 = 0 1 0       0 0 + 1 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 0 0 0       0 1

T 0 0       0 1 = 0 0       0 1 = 0 1 0       0 0 + 0 0 0       1 0 + 0 0 1       0 0 + 1 0 0       0 1

Temos:

T = 1 0 0 0       0 0 1 0       0 1 0 0       0 0 0 1

Lembrando que det ⁡ T - λ I = 0 . Como λ I = λ . Temos que:

1 - λ 0 0 0       0 0 - λ 1 0       0 1 0 - λ 0       0 0 0 1 - λ = 0

Temos que:

( 1 - λ ) 1 - λ 0 0       0 - λ 1       0 1 - λ

1 - λ 1 - λ λ 2 - 1 = 0

É possível notar que, temos como raízes:

λ 1 = 1

λ 2 = - 1

Passo 2

Multiplicando a matriz de transformação pelo vetor v , temos:

Para λ 1 = 1 :

1 0 0 0       0 0 1 0       0 1 0 0       0 0 0 1 x y z w = 1 x y z w

x = x

z = y

y = z

w = w

Logo:

x , z , z , w = x 1,0 , 0,0 + z 0,1 , 1,0 + w ( 0,0 , 0,1 )

O autovetor:

v 1 = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,0 , 0,0 , 0,1

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 1 , ou seja, V 1 = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,0 , 0,0 , 0,1 , quando λ = 1 .

Passo 3

Para λ 2 = - 1 :

1 0 0 0       0 0 1 0       0 1 0 0       0 0 0 1 x y z w = - 1 x y z w

x = - x = 0

z = - y

y = - z

w = - w = 0

Logo:

0 , - z , z , 0 = z 0 , - 1,1 , 0

O autovetor:

v 2 = 0 , - 1,1 , 0

Assim, dizemos que V é gerado pelo autovetor v 2 , ou seja, V - 1 = 0 , - 1,1 , 0 , quando λ = - 1 .

Resposta

v 1 = 1,0 , 0,0 , 0,1 , 1,0 , 0,0 , 0,1   p a r a   λ = 1  

v 2 = 0 , - 1,1 , 0   p a r a   λ = - 1  

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