Enunciado

Completando os quadrados, decida se cada uma das equações abaixo define uma circunferência, um ponto ou o conjunto vazio:

b) −x² − y² + 6x − 4y + 3 = 0;

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

Vamos completar os quadrados da equação - x 2 - y 2 + 6 x - 4 y + 3 = 0 .

Para simplificar a equação vamos dividir todos os seus termos por -1, obtendo:

x 2 + y 2 - 6 x + 4 y - 3 = 0

Para começar vamos manipular matematicamente os termos que possuem a variável e tentar completar um produto notável do tipo a + b 2 = a 2 + 2 a b + b ² .

Começando com a variável x, queremos completar o trinômio x 2 - 6 x .

Teremos:

a =   1 ; b =   - 6 2 = - 3

Logo, o quadrado perfeito é:

x - 3 2 =   x 2 - 6 x + 9

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é 9 .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

De modo análogo, para a variável y, teremos o trinômio y 2 + 4 y .

Onde:

a =   1 ; b = 4 2 = 2

Logo, o quadrado perfeito é:

y + 2 2 =   y 2 + 4 y + 4

Portanto, o termo que faltava para completar o quadrado é 4 .

Iremos somar ele em ambos os lados da equação inicial.

Voltando à nossa equação inicial, teremos:

x 2 + y 2 - 6 x + 4 y - 3 = 0

Que pode ser reescrita como:

x 2 - 6 x + y ² + 4 y = 3

Vamos agora somar os dois valores encontrados para completar os quadrados em ambos os lados da equação.

x 2 - 6 x + 9 + y 2 + 4 y + 4 = 3 + 9 + 4

Ajustando os quadrados, teremos:

x - 3 2 + y + 2 2 = 16

x - 3 2 + y + 2 2 = 4 2

Tal equação define uma circunferência de centro C = 3 , - 2 e raio r = 4 .

Resposta

Tal equação define uma circunferência de centro C = 3 , - 2 e raio r = 4 .

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